O'qish vaqti: 33 daqiqa

Endi JUDA FOYDALI yechim haqida: qoralama ustidagi topshiriqni tugatishdan oldin, chizma chizish foydalidir (shart talab qiladimi yoki yo'qmi). Bu, birinchidan, uzluksizlik va to'xtash nuqtalarini darhol ko'rishga yordam beradi, ikkinchidan, bu sizni bir tomonlama chegaralarni topishda xatolardan 100% qutqaradi.
Keling, rasmni tugatamiz. Bizning hisob-kitoblarimizga ko'ra, nuqtaning chap tomoniga parabolaning (ko'k) bo'lagini va o'ngga - parabolaning (qizil) bo'lagini chizish kerak, bunda funktsiya nuqtaning o'zida aniqlanmagan. :

Agar shubhangiz bo'lsa, bir nechta "x" qiymatlarini oling, ularni funktsiyaga ulang  (modul mumkin bo'lgan minus belgisini yo'q qilishini unutmang) va grafikni tekshiring.
Keling, uzluksizlik funksiyasini analitik tarzda tekshiramiz:
1) Funktsiya bir nuqtada aniqlanmagan, shuning uchun biz darhol uni uzluksiz deb aytishimiz mumkin.
2) Uzluksizlik xarakterini aniqlang, buning uchun biz bir tomonlama chegaralarni hisoblaymiz:

Bir tomonlama chegaralar chekli va har xil bo'lib, bu funksiya nuqtada sakrash bilan 1-turdagi uzilishga duchor bo'lishini anglatadi. Yana bir bor esda tutingki, chegaralarni topishda funksiya uzilish nuqtasida aniqlangan yoki aniqlanmaganligi muhim emas.
Endi chizmani qoralamadan o'tkazish kerak (u xuddi tadqiqot yordamida qilingan ;-)) va vazifani bajarish:
Javob: funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, u sakrash bilan birinchi turdagi uzilishga duchor bo'lgan nuqtadan tashqari.
Ba'zan bo'shliqqa sakrashni qo'shimcha ravishda ko'rsatish talab qilinadi. U elementar usulda hisoblanadi - o'ng chegaradan chap chegarani ayirish kerak: ya'ni tanaffus nuqtasida bizning funktsiyamiz 2 birlik pastga sakrab chiqdi (minus belgisi bilan ko'rsatilgandek).
3-misol
Funktsiyani o'rganish  davomiylik uchun. Funktsiya bo'shliqlarining tabiatini aniqlang, agar ular mavjud bo'lsa. Chizma qiling.
Bu mustaqil misol, o'quv qo'llanmasining oxiridagi namunaviy yechim.
Funktsiya uch qismdan iborat bo'lganda, vazifaning eng mashhur va keng tarqalgan versiyasiga o'tamiz:
4-misol
Funksiyani uzluksizligi uchun tekshiring va funksiya grafigini tuzing  .
Yechim: funktsiyaning barcha uch qismi mos keladigan intervallarda uzluksiz ekanligi aniq, shuning uchun bo'laklar orasidagi "bo'g'in" ning faqat ikkita nuqtasini tekshirish qoladi. Birinchidan, keling, qoralama ustida chizamiz; Men maqolaning birinchi qismida qurilish texnikasini etarlicha batafsil izohlab berdim. Bizning maxsus nuqtalarimizni diqqat bilan kuzatib borishingiz kerak bo'lgan yagona narsa: tengsizlik tufayli qiymat to'g'ri chiziqqa (yashil nuqta) tegishli va tengsizlik tufayli qiymat parabolaga (qizil nuqta) tegishli:


Xo'sh, printsipial jihatdan, hamma narsa aniq =) Qaror qabul qilish uchun qoladi. Ikkita "burish" nuqtasining har biri uchun biz odatda 3 ta uzluksizlik shartini tekshiramiz:
men) Keling, masalani o'rganib chiqaylik
1) 


Bir tomonlama chegaralar chekli va har xil bo'lib, bu funksiya nuqtada sakrash bilan 1-turdagi uzilishga duchor bo'lishini anglatadi.
Uzluksizlik sakrashini o'ng va chap chegaralar orasidagi farq sifatida hisoblaymiz:
, ya'ni diagramma bir birlik yuqoriga ko'tarildi.
II) Keling, masalani o'rganib chiqaylik
1)  - funksiya berilgan nuqtada aniqlanadi.
2) Bir tomonlama chegaralarni toping:

- bir tomonlama chegaralar chekli va tengdir, bu umumiy chegara mavjudligini bildiradi.
3)  - funksiyaning nuqtadagi chegarasi ushbu funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng.
Yakuniy bosqichda biz rasmni yakuniy nusxaga o'tkazamiz, shundan so'ng biz yakuniy akkordni qo'yamiz:
Javob: funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, sakrash bilan birinchi turdagi uzilishga duchor bo'lgan nuqtadan tashqari.
5-misol
Funksiyaning uzluksizligini tekshirib, uning grafigini tuzing  .
Bu mustaqil yechish uchun misol, qisqa yechim va dars oxirida muammoni loyihalashning taxminiy misolidir.
Bir nuqtada funktsiya uzluksiz bo'lishi kerak, boshqasida esa bo'sh joy bo'lishi kerak degan taassurot paydo bo'lishi mumkin. Amalda, bu har doimgidan uzoqdir. Qolgan misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling - bir nechta qiziqarli va muhim chiplar bo'ladi:
6-misol
Funktsiya berilgan  ... Funksiyani nuqtalarda uzluksizlik uchun tekshiring. Grafik tuzing.
Yechim: va yana darhol qoralama ustidagi rasmni bajaring:


Bu grafikning o'ziga xosligi shundaki, at, bo'lakli funksiya abscissa o'qi tenglamasi bilan berilgan. Bu erda bu maydon yashil rangda chizilgan va daftarda u odatda oddiy qalam bilan qalin rangda ta'kidlangan. Va, albatta, bizning qo'chqorlarimiz haqida unutmang: qiymat tangens filialiga (qizil nuqta) tegishli va qiymat to'g'ri chiziqqa tegishli.
Chizmadan hamma narsa aniq - funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz, 3-4 ta misoldan so'ng tom ma'noda avtomatizmga keltiriladigan yechimni tuzish qoladi:
men) Keling, masalani o'rganib chiqaylik
1) - funksiya shu nuqtada aniqlanadi.
2) Bir tomonlama chegaralarni hisoblaymiz:

shuning uchun umumiy chegara mavjud.
Har bir o't o'chiruvchi uchun sizga arzimas bir haqiqatni eslatib o'taman: doimiyning chegarasi doimiyning o'ziga teng. Bunday holda, nol chegarasining o'zi nolga teng (chap qo'l chegarasi).
3)  - funksiyaning nuqtadagi chegarasi ushbu funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng.
Shunday qilib, funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligini aniqlash orqali funktsiya nuqtada uzluksizdir.
II) Keling, masalani o'rganib chiqaylik
1) - funksiya shu nuqtada aniqlanadi.
2) Bir tomonlama chegaralarni toping:

Va bu erda - birlikning chegarasi birlikning o'ziga teng.
- umumiy chegara mavjud.
3)  - funksiyaning nuqtadagi chegarasi ushbu funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng.
Shunday qilib, funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligini aniqlash orqali funktsiya nuqtada uzluksizdir.
Odatdagidek, tadqiqotdan so'ng biz chizilgan rasmimizni toza nusxaga o'tkazamiz.
Javob: funksiya nuqtalarda uzluksiz.
Shuni esda tutingki, bizdan uzluksizlik uchun butun funktsiyani o'rganish to'g'risida so'ralmagan va uni shakllantirish uchun yaxshi matematik shakl deb hisoblanadi. aniq va aniq berilgan savolga javob. Aytgancha, agar shart bo'yicha jadval tuzish talab etilmasa, uni tuzmaslikka to'liq huquqingiz bor (ammo o'qituvchi sizni majburlashi mumkin).
Mustaqil yechim uchun kichik matematik "tilni burish":
7-misol
Funktsiya berilgan  ... Funksiyani nuqtalarda uzluksizlik uchun tekshiring. Agar mavjud bo'lsa, to'xtash nuqtalarini tasniflang. Loyihani amalga oshiring.
Barcha "so'zlarni" to'g'ri "talaffuz qilishga" harakat qiling =) Va grafikni aniqroq chizing, aniqlik, hamma joyda ortiqcha bo'lmaydi ;-)
Esingizda bo'lsa, men darhol qoralama ustida chizishni tavsiya qildim, lekin vaqti-vaqti bilan men grafikning qanday ko'rinishini darhol aniqlay olmaydigan misollarga duch kelaman. Shuning uchun, bir qator hollarda, birinchi navbatda, bir tomonlama chegaralarni topish foydali bo'ladi va shundan keyingina, tadqiqot asosida, filiallarni tasvirlaydi. Ikki oxirgi misolda biz bir tomonlama chegaralarni hisoblash texnikasini ham o'zlashtiramiz:
8-misol
Funksiyaning uzluksizligini tekshirib, uning sxematik grafigini tuzing.
Yechim: yomon nuqtalar aniq: (ko'rsatkichning maxrajini nolga aylantiradi) va (butun kasrning maxrajini nolga aylantiradi). Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishga ega ekanligi aniq emas, demak, birinchi navbatda biroz tadqiqot qilish yaxshiroqdir.