|
3 -misol. y = 2 1 / x funktsiyasi x = 0 dan tashqari x ning barcha qiymatlari uchun uzluksizdir. Keling, bir tomonlama chegaralarni topaylik: , , demak, x = 0 ikkinchi turdagi uzilish nuqtasidir (3-rasm).
3) x = x 0 nuqta deyiladi olinadigan uzilish nuqtasi agar f (x 0 +0) = f (x 0 -0) ≠ f (x 0) bo'lsa.
Bo'shliq bu nuqtada, sozlashda funktsiyaning qiymatini o'zgartirish (qayta belgilash yoki qayta belgilash) uchun etarli bo'lgan ma'noda "yo'q qilinadi" va funksiya x 0 nuqtasida uzluksiz bo'ladi.
4 -misol. Ma'lumki , va bu chegara x ning nolga intilish yo'liga bog'liq emas. Lekin x = 0 nuqtadagi funksiya aniqlanmagan. Agar funktsiya ta'rifini f (0) = 1 ni o'rnatish orqali kengaytirsak, u holda bu nuqtada uzluksiz bo'lib chiqadi (boshqa nuqtalarda u sinx va x uzluksiz funktsiyalarining qismi sifatida uzluksizdir).
5 -misol. Funksiyaning uzluksizligini tekshirish .
Yechim. y = x 3 va y = 2x funktsiyalari hamma joyda, shu jumladan ko'rsatilgan oraliqlarda ham aniqlangan va uzluksizdir. Biz x = 0 oraliqlarining tutashuv nuqtasini tekshiramiz:
, ,. Biz shuni olamiz, shundan kelib chiqadiki, x = 0 nuqtada funktsiya uzluksizdir.
Ta'rif. Birinchi turdagi uzilish nuqtalarining cheklangan soni yoki olinadigan uzilishlar bundan mustasno, intervalda uzluksiz bo'lgan funksiya bu oraliqda bo'lak uzluksiz deb ataladi.
Uzluksiz funksiyalarga misollar
1 -misol. Funksiya x = 2 nuqtadan tashqari (-∞, + ∞) da aniqlangan va uzluksizdir. Keling, tanaffus turini aniqlaylik. Shu darajada va , u holda x = 2 nuqtada ikkinchi turdagi uzilish mavjud (6-rasm).
2 -misol. Funktsiya x = 0 dan tashqari barcha x uchun aniq va uzluksiz bo'lib, bu erda maxraj nolga teng. x = 0 nuqtada bir tomonlama chegaralarni toping:
Bir tomonlama chegaralar chekli va har xil, shuning uchun x = 0 birinchi turdagi uzilish nuqtasidir (7-rasm).
3 -misol. Funktsiya qaysi nuqtalarda va qanday uzilishlarga ega ekanligini aniqlang
Bu funksiya [-2,2] da aniqlanadi. X 2 va 1 / x mos ravishda [-2,0] oraliqlarda uzluksiz bo'lgani uchun va bo'shliq faqat oraliqlarning birlashmasida, ya'ni x = 0 nuqtasida bo'lishi mumkin. Chunki, x = 0 ikkinchi turdagi uzilish nuqtasidir.
4-misol. Funktsiya bo'shliqlarini yopish mumkinmi:
a) nuqtada x = 2;
b) nuqtada x = 2;
v) x = 1 nuqtada?
Yechim. a misoli haqida darhol aytishimiz mumkinki, x = 2 nuqtadagi f (x) uzilishni bartaraf etib bo'lmaydi, chunki bu nuqtada cheksiz bir tomonlama chegaralar mavjud (1-misolga qarang).
b) g (x) funksiyasi, garchi u x = 2 nuqtada chekli bir tomonlama chegaralarga ega
( , ),
lekin ular bir-biriga mos kelmaydi, shuning uchun bo'shliqni ham yopish mumkin emas.
c) x = 1 uzilish nuqtasidagi ph (x) funksiya teng bir tomonlama chekli chegaralarga ega:. Shuning uchun, f (1) = 2 o'rniga f (1) = 1 ni qo'ysak, x = 1 nuqtadagi funktsiyani qayta belgilash orqali bo'shliqni yo'q qilish mumkin.
Misol № 5. Dirixlet funktsiyasini ko'rsating
raqamli o'qning har bir nuqtasida uzluksiz.
Yechim. x 0 (-∞, + ∞) dan istalgan nuqta boʻlsin. Uning har qanday muhitida ham mantiqiy, ham irratsional nuqtalar mavjud. Bu shuni anglatadiki, x 0 ning har qanday qo'shnisida funktsiya 0 va 1 ga teng qiymatlarga ega bo'ladi. Bu holda, x 0 nuqtadagi funktsiya chegarasi chapda ham, o'ngda ham mavjud bo'lishi mumkin emas. sonlar o'qining har bir nuqtasida Dirixlet funktsiyasi ikkinchi turdagi uzilishlarga ega.
6-misol. Funksiyaning uzilish nuqtalarini toping
va ularning turini aniqlang.
Yechim. Bo'shliqqa shubhali nuqtalar x 1 = 2, x 2 = 5, x 3 = 3 nuqtalaridir.
x 1 = 2 nuqtada f (x) ikkinchi turdagi uzilishga ega, chunki
.
X 2 = 5 nuqtasi uzluksizlik nuqtasidir, chunki bu nuqtadagi va uning atrofidagi funktsiyaning qiymati birinchi emas, balki ikkinchi chiziq bilan belgilanadi:.
x 3 = 3 nuqtasini ko'rib chiqing:, , shundan kelib chiqadiki, x = 3 birinchi turdagi uzilish nuqtasidir.
Mustaqil yechim uchun.
Funksiyalarning uzluksizligini tekshiring va uzilish nuqtalarining turini aniqlang:
1) ; Javob: x = -1 - olinadigan uzilish nuqtasi;
2) ; Javob: x = 8 nuqtadagi ikkinchi turdagi uzilish;
3) ; Javob: x = 1 da birinchi turdagi uzilishlar;
4)
Javob: x 1 = -5 nuqtada olinadigan bo'shliq, x 2 = 1 da - ikkinchi turdagi bo'shliq va x 3 = 0 nuqtada - birinchi turdagi bo'shliq mavjud.
5) Funktsiya bo'lishi uchun A soni qanday tanlanishi kerak
x = 0 nuqtada uzluksiz bo'ladimi?
Javob: A = 2.
6) Funksiya bo'lishi uchun A raqamini tanlash mumkinmi?
x = 2 da uzluksiz bo'ladimi?
Javob yo‘q.
Nuqtaga ruxsat bering a funksiya doirasiga kiradi f (x) va har qanday ε - punktning mahallasi a dan boshqasini o'z ichiga oladi a funktsiya sohasi nuqtalari f (x), ya'ni. nuqta a to'plamning chegara nuqtasidir (x) bu yerda funksiya aniqlanadi f (x).
Do'stlaringiz bilan baham: |
