|
Ta'rif. f (x) funksiya qandaydir oraliqda aniqlansin va x 0 bu intervalning nuqtasi bo‘lsin. Agar, u holda f (x) x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Ta'rifdan kelib chiqadiki, biz uzluksizlik haqida faqat f (x) aniqlangan nuqtalarga nisbatan gapirishimiz mumkin (funksiya chegarasini aniqlashda bunday shart qo'yilmagan). Uzluksiz funktsiyalar uchun , ya'ni f va lim commute amallari. Funktsiyaning nuqtadagi chegarasining ikkita ta'rifiga ko'ra, uzluksizlikning ikkita ta'rifini berish mumkin - "ketma-ketliklar tilida" va "tengsizliklar tilida" (e-d tilida). Buni o'zingiz qilishingiz tavsiya etiladi.
Amaliy foydalanish uchun ba'zan o'sishlar tilida uzluksizlikni aniqlash qulayroqdir.
Dx = x-x 0 qiymati argumentning o'sishi deb ataladi va Dy = f (x) -f (x 0) - x 0 nuqtadan x nuqtaga o'tishda funktsiyaning o'sishi.
Ta'rif. f (x) nuqta x 0 nuqtada aniqlansin. Agar f (x) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar bu nuqtadagi argumentning cheksiz kichik o‘sishi funksiyaning cheksiz kichik o‘sishiga, ya’ni Dx → 0 bo‘lgan Dy → 0 ga to‘g‘ri kelsa.
№1 misol. y = sinx funksiyasi x ning istalgan qiymati uchun uzluksiz ekanligini isbotlang.
Yechim. X 0 ixtiyoriy nuqta bo'lsin. Unga Dx ortishini berib, x = x 0 + Dx nuqtasini olamiz. U holda Dy = f (x) -f (x 0) = sin (x 0 + Dx) -sin (x) = ... olamiz .
Ta'rif ... y = f (x) funksiya agar o'ng (chap) tarafdagi x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi
.
Ichki nuqtada uzluksiz bo'lgan funksiya bir vaqtning o'zida o'ng va chap tomonda uzluksiz bo'ladi. Buning aksi ham to'g'ri: agar funktsiya chap va o'ngdagi nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda bu nuqtada uzluksiz bo'ladi. Biroq, funksiya faqat bir tomonda uzluksiz bo'lishi mumkin. Masalan, uchun , , f (1) = 1, shuning uchun bu funktsiya faqat chap tomonda uzluksizdir (yuqoridagi 5.7.2-bo'limdagi ushbu funktsiyaning grafigiga qarang).
Ta'rif. Funktsiya qaysidir oraliqda uzluksiz deyiladi, agar u shu oraliqning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa.
Xususan, agar interval segment bo'lsa, uning uchlarida bir tomonlama uzluksizlik qabul qilinadi.
Uzluksiz funksiyalarning xossalari
1. Barcha elementar funksiyalar aniqlanish sohasi bo‘yicha uzluksizdir.
2. Agar qaysidir oraliqda berilgan f (x) va ph (x) bu oraliqning x 0 nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, bu nuqtada funksiyalar ham uzluksiz bo‘ladi.
3. Agar X dan x 0 nuqtada y = f (x) uzluksiz va Y dan mos keladigan y 0 = f (x 0) nuqtada z = ph (y) uzluksiz bo‘lsa, kompleks funksiya z = ph bo‘ladi. (f (x )) x 0 nuqtada uzluksiz bo'ladi.
Funksiya uzilishlari va ularning tasnifi
f (x) funksiyaning x 0 nuqtadagi uzluksizligi belgisi tenglik bo‘lib, u uchta shartning mavjudligini bildiradi:
1) f (x) x 0 nuqtada aniqlanadi;
2) ;
3) .
Agar bu talablardan kamida bittasi buzilsa, x 0 funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, uzilish nuqtasi bu funktsiya uzluksiz bo'lmagan nuqtadir. Uzluksizlik nuqtalarining ta'rifidan kelib chiqadiki, funktsiyaning uzilish nuqtalari:
a) f (x) uzluksizlik xususiyatini yo‘qotadigan funksiya sohasiga tegishli nuqtalar;
b) f (x) aniqlanish sohasiga mansub bo'lmagan nuqtalar, ular funksiyaning aniqlanish sohasining ikkita intervalining qo'shni nuqtalari.
Masalan, funktsiya uchun x = 0 nuqta uzilish nuqtasidir, chunki bu nuqtadagi funktsiya aniqlanmagan va funktsiya f (x) sohasining ikki oralig‘i (-∞, 1) va (1, ∞) uchun qo‘shni bo‘lgan x = 1 nuqtasida uzilishga ega va mavjud emas.
Tanaffus nuqtalari uchun quyidagi tasnif qabul qilinadi.
1) Agar x 0 nuqtada chekli bo'lsa va , lekin f (x 0 +0) ≠ f (x 0 -0), u holda x 0 deyiladi. birinchi turdagi uzilish nuqtasi , bir vaqtning o'zida ular qo'ng'iroq qilishadi sakrash funktsiyasi .
2-misol. Funktsiyani ko'rib chiqing
Funktsiya faqat x = 2 nuqtada uzluksiz bo'lishi mumkin (boshqa nuqtalarda u har qanday ko'phad kabi uzluksizdir).
T oping , ... Bir tomonlama chegaralar cheklangan, lekin bir-biriga teng emasligi sababli, x = 2 nuqtada funktsiya birinchi turdagi uzilishga ega. e'tibor bering, bu , shuning uchun bu nuqtadagi funktsiya o'ngda uzluksizdir (2-rasm).
2) Ikkinchi turdagi uzilish nuqtalari - bir tomonlama chegaralardan kamida bittasi ∞ ga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar.
Do'stlaringiz bilan baham: |
