O'qish vaqti: 33 daqiqa

https://goaravetisyan.ru/uz/nepreryvnost-funkcii-v-tochke-primery-nepreryvnost-funkcii-dva/
Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligiga misollar. Funksiyalarning uzluksizligi
Yozilgan sana:28.11.2021
O'qish vaqti:33 daqiqa
Geyne uzluksizligi ta'rifi
Haqiqiy o'zgaruvchan funksiya \ (f \ chap (x \ o'ng) \) deyiladi davomiy nuqtada \ (a \ in \ mathbb (R) \) (\ (\ mathbb (R) - \) haqiqiy sonlar to'plami), agar har qanday ketma-ketlik uchun \ (\ chap \ (((x_n)) \ o'ngda \) \ ) shundayki \ [\ lim \ chegaralaydi_ (n \ to \ infty) (x_n) = a, \] munosabat \ [\ lim \ chegaralaydi_ (n \ to \ infty) f \ chap (((x_n)) ) \ o'ng) = f \ chap (a \ o'ng).\] Amalda funksiyaning uzluksizligi uchun \ (f \ chap (x \ o'ng) \) uchun quyidagi \ (3 \) shartlardan foydalanish qulay. \ (x = a \) nuqtasida (bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak):

1. 
   \ (f \ chap (x \ o'ng) \) funktsiyasi \ (x = a \) nuqtada aniqlanadi;
   
2. 
   Limit \ (\ lim \ limits_ (x \ to a) f \ left (x \ o'ng) \) mavjud;
   
3. 
   Tenglik \ (\ lim \ limits_ (x \ to a) f \ chap (x \ o'ng) = f \ chap (a \ o'ng) \).
   

Koshi uzluksizligi ta'rifi (\ (\ varepsilon - \ delta \) belgisi)
Haqiqiy sonlar to'plamini \ (\ mathbb (R) \) haqiqiy sonlarning boshqa kichik to'plamiga \ (B \) moslashtiradigan \ (f \ chap (x \ o'ng) \) funktsiyasini ko'rib chiqing. \ (f \ chap (x \ o'ng) \) funktsiyasi deyiladi davomiy nuqtada \ (a \ in \ mathbb (R) \), agar biron bir son \ (\ varepsilon> 0 \) uchun \ (\ delta> 0 \) soni mavjud bo'lsa, shunday qilib, hamma \ (x \ in \) uchun. mathbb (R) \) munosabatini qanoatlantiruvchi \ [\ chap | (x - a) \ o'ng | Argument va funktsiyaning o'sishi nuqtai nazaridan uzluksizlikning ta'rifi
Davomiylikning ta'rifi argumentlar va funktsiyalarning o'sishi yordamida ham shakllantirilishi mumkin. Funktsiya \ (x = a \) nuqtada uzluksiz bo'ladi, agar tenglik \ [\ lim \ chegaralari _ (\ Delta x \ 0 ga) \ Delta y = \ lim \ chegaralari _ (\ Delta x \ 0 ga) \ chap [( f \ chap ((a + \ Delta x) \ o'ng) - f \ chap (a \ o'ng)) \ o'ng] = 0, \] qaerda \ (\ Delta x = x - a \).
Funktsiya uzluksizligining yuqoridagi ta'riflari haqiqiy sonlar to'plamiga ekvivalentdir.
Funktsiya shunday berilgan oraliqda uzluksiz agar bu intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa.
Uzluksizlik teoremalari
Teorema 1.
\ (f \ chap (x \ o'ng) \) funktsiyasi \ (x = a \) nuqtada uzluksiz bo'lsin va \ (C \) doimiy bo'lsin. U holda \ (Cf \ chap (x \ o'ng) \) funktsiyasi \ (x = a \) uchun ham uzluksizdir.
Teorema 2.
Berilgan ikkita funksiya \ ((f \ chap (x \ o'ng)) \) va \ ((g \ chap (x \ o'ng)) \), nuqtada uzluksiz \ (x = a \). U holda bu funksiyalarning yig'indisi \ ((f \ chap (x \ o'ng)) + (g \ chap (x \ o'ng)) \) \ (x = a \) nuqtada ham uzluksizdir.
Teorema 3.
Faraz qilaylik, \ ((f \ chap (x \ o'ng)) \) va \ ((g \ chap (x \ o'ng)) \) \ (x = a \) nuqtada uzluksiz bo'lsin. Keyin bu funksiyalarning mahsuloti \ ((f \ chap (x \ o'ng)) (g \ chap (x \ o'ng)) \) \ (x = a \) nuqtada ham uzluksiz bo'ladi.
Teorema 4.
Berilgan ikkita funksiya \ ((f \ chap (x \ o'ng)) \) va \ ((g \ chap (x \ o'ng)) \), \ uchun uzluksiz (x = a \). Keyin ushbu funksiyalarning nisbati \ (\ katta \ frac ((f \ chap (x \ o'ng)))) ((g \ chap (x \ o'ng))) \ normal o'lcham \) \ (x = a \) uchun ham uzluksiz bo'ladi. ) sharti bilan \ ((g \ chap (a \ o'ng)) \ ne 0 \).
Teorema 5.
Faraz qilaylik, \ ((f \ chap (x \ o'ng)) \) funksiya \ (x = a \) nuqtasida differentsiallanadi. U holda \ ((f \ chap (x \ o'ng)) \) funksiya bu nuqtada uzluksiz bo'ladi (ya'ni, differentsiallik nuqtadagi funktsiyaning uzluksizligini bildiradi; buning aksi to'g'ri emas).
6-teorema (Cheklangan qiymat teoremasi).
Agar \ ((f \ chap (x \ o'ng)) \) funktsiyasi yopiq va cheklangan intervalda \ (\ chap [(a, b) \ o'ng] \) uzluksiz bo'lsa, u holda u yuqoridan va pastdan chegaralanadi. interval. Boshqacha qilib aytganda, \ (m \) va \ (M \) raqamlar mavjudki, \ (\ chap [(a, b) \ o'ng] \) oralig'ida \ hamma \ (x \) uchun \) (1-rasm) .