Matritsalarni lu va

MATRITSALARNI LU VA LDU KOʻPAYTMALARIGA YOYISH VA ULARNING TADBIQLARI


Reja

1. 
   Matritsalarni koʻpaytirish.
   
2. 
   Teskari matritsani Gauss-Jordan usulida topish.
   
3. 
   Matritsalarni LU va LDU koʻpaytmalarga yoyish.
   

Matritsalarni koʻpaytirish.
Bizga oʻlchamli 2 ta A va B matritsa berilgan boʻlsin. Bu matritsalar koʻpaytmasini koʻrib chiqaylik.
.
Bu koʻpaytmaning ikkinchi matritsasining ustunlarini ikki vektor sifatida qaraymiz, alohida koʻpaytirib chiqaylik.
,
.
Bulardan umumiy qilib, quyidagini yozishimiz mumkin:
,
.
Endi, faraz qilaylik, boʻlsin. C matritsaning elementini aniqlash uchun A matritsaning 3-satrini B matritsaning 4-ustuniga mos ravishda koʻpaytirib qoʻshish kerak boʻladi:

Bundan koʻrishimiz mumkinki, A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng boʻlishi shart.
Ta’rif. oʻlchamli A matritsani oʻlchamli matritsaga ko`paytmasi deb, shunday o`lchamli C matritsaga aytiladiki, uning elementlari
(4.1)
tenglik bilan aniqlanadi. kabi belgilanadi.
1-misol. matritsalar berilgan. va koʻpaytmalarni hisoblang.
Yechish. Bu yerda va boʻlgani uchun matritsa o`lchamli boʻladi:

matritsa esa oʻlchamli bo`ladi:

.


Teskari matritsani Gauss-Jordan usulida topish.
Ta’rif. Agar tenglik o`rinli bo`lsa, matritsa kvadrat matrtsaning teskari matritsasi deyiladi. Bu yerda matritsa matritsa o`lchami bilan bir xil o`lchamli birlik matritsadir.
Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usulini matritsa uchun umumiy holda koʻrib chiqamiz.
va
Gauss-Jordan usulida matritsadan elementar almashtirishlar yordamida matritsani hosil qilish. Birinchi bosqichda matritsaning diagonal ostidagi elementlarni nollarga aylantiramiz. Buning uchun avval elementni birga aylantirib olamiz, ya’ni matritsaning birinchi satrini ga boʻlamiz va yangi elementlarni , deb belgilaymiz(bu yerda birlik matritsa elementlarini ifodalaydi.
3-misol. Gauss-Jordan usulida matritsaning teskari matritsasini toping.
Yechish. Matritsani birlik matritsaga toʻldiramiz
.
Birinchi satrni -4 ga va -9 ga koʻpaytirib, mos ravishda 2- va 3-satrlarga qoʻshamiz.

Bu yerda qulaylik uchun avval 2-satrni -3ga koʻpaytirib 3-satrga qoʻshib olamiz, soʻngra 2-satrni -2ga boʻlamiz:

Keyingi bosqichda diagonal yuqorisidagi elementlarni nollarga aylantirish bilan shugʻullanamiz. Buning uchun -1 ga va -3/2 ga koʻpaytirib, mos ravishda 1- va 2-satrlarga qoʻshamiz.

Hosil boʻlgan matritsaning 2-satrini -1ga koʻpaytirib 1- -satriga qoʻshamiz.

Natijada, .
Savol: Teskari matritsani har doim aniqlash mumkinmi? Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss-Jordan usulini oʻrganing.