Огохлантириш! Телефон ва бошқа нарсалардан фойдаланишнинг имкони йўқ

2.9-мисол. тенгламанинг кесмада жойлашган илдизини аниқликда топинг.
Ечиш: Тенгламани унга тенг кучли бўлган тенглик билан алмаштирамиз. Уҳолда


ва ихтиёрий лар учун, шу жумладан кесма нуқталари учун ҳам

тенгсизлик бажарилади. Кўриниб турибдики яқинлашиш шарти бажарилаяпди.
(2.2.2) формула

Кўрилаётган интервалнинг нуқтасидан бошлаб кетма-кет қуйидагиларни топамиз:









Кейинги яқинлашишлар
шартни бажаради ва . Уни изланаётган илдизнинг қиймати сифатида олиш мумкин.

9. 
   Вестгейн усули.
   

Оддий итерация усулида ни итерация жараёнини яқинлаштирувчи қилиб танлаш енгил иш эмас, Шу жиҳатдан Вестгейн усули қулайроқ: у нинг ихтиёрий қийматида қўлланилиши мумкин, да эса Вестгейн жараёни оддий итерация жараёнига нисбатан тезроқ яқинлашади. Бу усулни қўллашда олдин оддий итерация бўйича топилади, сўнг деб олинади. Кейинги яқинлашишлар формула бўйича кетма-кет топилади, бунда ёки

ва ҳар қадамда нинг қийматини ҳисоблаб турилади:

2.10-мисол. Вестгей усули қўлланилиб тенгламанинг илдизлари аниқликда топилсин.
Ечиш: ва (чунки 3-мисолдан маълумки (1; 2) оралиқда битта мусбат илдиз бор) бўлсин. ни оддий итерация бўйича топамиз. Қолган ҳисоблашлар (2.2.5), (2.2.6) муносабатлар бўйича бажарилади (жадвалга қаранг):

0	1,7		0,5
1	-0,1849	-0,09245	0,953245505	1,8849
2	1,002652675	-0,041249028	0,958667349	1,187552675
3	1,000530989	0,001810502	-0,051827009	0,002121686
4	1,000001024	1,051734254	-0,00050502	0,000529965
5	1,039781137	1,0397751	1,429861315	0,039780112
6	1,045642091	1,037253108	1,755322311	0,005860954

Демак, тақрибий илдиз деб олсак бўлади.

10. 
    Ньютон методи (уринмалар методи)
    

Фараз қилайлик функция кесманинг четки нуқталарида ҳар хил ишорага эга бўлиб, , ҳосилалар мавжуд ва узлуксиз ва да ишорасини сақласин. тенглама да ягона илдизга эга бўлсин. бўлсин. Лагранж формуласидан фойдаланиб функцияни бирор чизиқли функция билан алмаштирамиз:

номаълум бўлгани учун, нинг ўрнига ни оламиз:

Охирги мунасобатни ҳисобга олиб, кўрилаётган тенглама ўрнига тенглама билан алмаштирамиз ва унинг

илдизини тенглама илдизини тақрибий ҳисоблашнинг биринчи яқинлашиши сифатида оламиз.
(2.2.7) ни умумлаштириб

ни оламиз.
Кўпинча Ньютон усулидан фойдаланишда, дастлабки яқинлашиш сифатида ( оралиқнинг шарт бажариладиган чеккаси олинади ва кейинги яқинлашишлар (2.2.8) формула билан аниқланади.
Ньютон усулининг геометрик таҳлили: Дастлабки яқинлашиш сифатида нуқтани оламиз. М нуқтадан функция графигига уринма ўтказамиз.
Уринманинг Ох ўқи билан кесишиш нуқтасини кейинги яқинлашиш сифатида оламиз, яъни деб оламиз. Кейин ) нуқтадан уринма ўтказиб, ни топамиз ва ҳакоза.
Ньютон методининг яқинлашиши ҳақида теоремалар.
2.9-теорема. Агар ва дастлабки қиймат қуйидаги шартларни қаноатлантирса;

1. 
   ва
   
2. 
   тенгсизлик ўринли;
   
3. 
   функция оралиқда иккинчи тартибли узлуксиз ҳосилага эга ва бу оралиқнинг барча нуқталарида бўлса;
   
4. 
   , , сонлар учун шарт бажарилса;
   
5. 
   ҳамда
   

тенгсизлик ўринли бўлса, у ҳолда:

1. 
   тенглама оралиқда ечимга эга бўлади;
   
2. 
   кетма-кетлик яқинлашишларни қуриш мумкин ва улар ечимга яқинлашади:
   

3. 
   Яқинлашиш тезлиги учун
   

баҳо ўринли бўлиб, бу ерда эса

квадрат тенгламанинг кичик илдизи учун дан бошлаб қурилган Ньютон кетма-кетлигининг элементидир:


2.10-теорема. Агар 2.9-теореманинг шартлари бажарилса, айирма учун


баҳо ўринли бўлади.

11.