Огохлантириш! Телефон ва бошқа нарсалардан фойдаланишнинг имкони йўқ

2.2-мисол: Қуйидаги тенглама ҳақиқий илдизларининг чегараси топилсин.


Ечиш. Теорема 3 дан фойдаланамиз, бу ерда
Бундан R . Демак, берилган тенгламанинг илдизлари ва оралиқда ётар экан.
2.5-теорема . (Лагранж теоремаси). Агар тенгламанинг манфий коэффициентларидан энг биринчиси (чапдан ўнгга) бўлиб, B манфий коэффициентларнинг абсолют қийматлари бўйича энг каттаси бўлса, у ҳолда мусбат илдизларнинг юқори чегараси

сон билан ифодаланади.
2.3-мисол: Юқоридаги 1-мисолни Лагранж теоремасидан фойдаланиб ечинг.
Ечиш. Теорема 4 дан фойдаланамиз. ,бу ерда Буларни формулага қўйиб, мусбат илдизларнинг юқори чегараси учун

ни ҳосил қиламиз. Кейин тенгламада ни билан алмаштирсак,

тенглама ҳосил бўлади. Бу тенглама мусбат илдизларининг юқори чегараси учун ҳам тенгсизлик келиб чиқади. Яъни Лагранж теоремасига кўра тенгламанинг илдизлари оралиқда жойлашган экан.
2.6-теорема (Ньютон теоремаси). Агар учун кўпҳад ва унинг барча ҳосилалари номанфий бўлса у ҳолда ни тенгламанинг мусбат илдизлар учун юқори чегара деб ҳисоблаш мумкин.
2.4-мисол: Юқоридаги 1-мисолни Ньютон теоремасидан фойдаланиб ечинг.
Ечиш. Теорема 5 дан фойдаланамиз. Бу ерда





Кўриниб турибдики, учун , , , .
Демак, экан. Энди
тенгламадаги ни билан алмаштириб тенгламани ҳосил қиламиз. Юқоридагига ўхшаш ҳисоблашлардан кейин кўринадики тенглама мусбат илдизларининг юқори чегараси экан. Демак, тенгламанинг илдизлари оралиқда ётар экан.
1-, 2-, 3-мисолларнинг натижаларини солиштирсак, Ньютон методи илдизлар чегаралари учун яхшироқ натижа бериши кўринади.
2.7-теорема (Декарт теоремаси). тенглама коэффициенгларидан тузилган системада ишора алмашишлар сони қанча бўлса (санашда нолга тенг коэффициенгларга эътибор берилмайди) , тенгламанинг шунча мусбат илдизлари мавжуд ёки мусбат илдизлар сони ишора алмашишлар сонидан жуфт сонга кам бўлади.