|
h
h h
2
2
2
2
2
2
,
.
1
A
h
h
h
Xos sonlar turli ishorali boʻlgani uchun (1;1) maxsus nuqta egar. Bu nuqtadan
separatissalar
2
2
1
va
2
2
1
xos vektorlar yoʻnalishida chiqadi.
(1; 1)
muvozanat nuqta atrofida chiziqlilashtirishni ham yuqoridagiga
oʻxshash amalga oshiramiz:
(1; 1)
(1; 1)
(1; 1)
(1; 1)
( , )
( , )
( , )
( , )
2 ,
2 ,
1,
2
f x y
f x y
g x y
g x y
x
y
x
y
;
u
u
A
v
v
,
(1; 1)
2
2
1
2
x
y
x
y
f
f
A
g
g
;
Xos son va xos vektorlarni topamiz:
1
2
2
2
det(
)
0 ;
2
2 ,
2
2 ;
1
2
A
E
215
1
1 1
1
2
,
;
1
A
h
h
h
2
2
2
2
2
1
2
,
(|
| |
|) ;
1
A
h
h
h
Xos sonlarning ikkalasi ham musbat boʻlgani uchun (1; 1)
muvozanat nuqta
noturgʻun tugun. Trayektoriyalar (1; 1)
nuqtada
2
1
xos vektorga urinadi;
(1; 1)
muvozanat nuqtaning kichik atrofidan chiqib trayektoriyalar boʻylab
harakat qiluvchi nuqta vaqt oʻtishi bilan (1; 1)
nuqtadan uzoqlashadi.
Trayektoriyalar
2
2
2
1
d y
x
y
d x
x
y
tenglamaning yechimlari grafigidan (integral chiziqlaridan) iborat.
Ravshanki,
2
0
x
y
va
2
2
1 0
x
y
parabolalar butun tekislikni besh
sohaga ajratadi (16.10- rasm); bu sohalarning har birida
d y
d x
hosila oʻz
ishorasini saqlaydi (16.11- rasm):
16.10- rasm.
16.11- rasm.
2
2
{( , )|
, 2
1}
x y
x
y
x
y
I
sohada
0
d y
dx
,
2
2
{( , )|
, 2
1}
x y
x
y
x
y
II
sohada
0
d y
dx
,
2
2
{( , )|
, 2
1 ,
0}
x y
x
y
x
y
y
III
sohada
0
d y
dx
,
216
2
2
{( , )|
, 2
1}
x y
x
y
x
y
IV
sohada
0
d y
dx
,
2
2
{( , )|
, 2
1 ,
0}
x y
x
y
x
y
y
V
sohada
0
d y
dx
.
Bu sohalarda trayektoriyalar monoton funksiyalar grafiklaridan iborat boʻladi.
Bu mulohazalarni hisobga olib, trayektoriyalar manzarasini quramiz (16.12-
rasm.).
16.12- rasm (misol 4 uchun).
Misol 5.
Ushbu
2
(1
)(1
)
x
x
x
ye
xy
y
x
x
y
sistemaning maxsus nuqtalari tabiatini tekshiring va trayektoriyalar portretini
quring.
Maxsus nuqtalarni
2
( , )
0 ,
( , )
(1
)(1
)
0
def
def
x
f x y
x
ye
xy
g x y
x
x
y
sistemani
yechib
topamiz.
Ular
uchta:
(0;0) , (1;1 / (
1))
(1; ) (
1 / (
1)
0,58)
e
e
va
( 1;
(
1))
( 1;
) (
(
1)
0, 73)
/
/
e
e
e
e
.
Endi
muvozanat
nuqtalarining tabiatini chiziqlilashtirish yordamida aniqlaymiz. Hosilalar
2
2
( , )
( , )
1
,
,
( , )
( , )
(1 3
)(1
) ,
(1
)
x
x
f x y
f x y
ye
y
e
x
x
y
g x y
g x y
x
y
x
x
x
y
(0; 0)
maxsus nuqta atrofida chiziqlilashtirilgan sistema
217
u
u
A
v
v
,
(0;0)
1
1
1
0
x
y
x
y
f
f
A
g
g
.
A
matritsaning xos sonlari
1,2
1
3
2
2
i
;
1,2
1
Re
0
2
boʻlganligi uchun
(0; 0)
maxsus nuqta noturgʻun fokus.
(1; )
muvozanat nuqta atrofida chiziqlilashtirilgan sistema
u
u
A
v
v
,
(1; )
0
1
2(1
)
0
x
y
x
y
f
f
e
A
g
g
.
Bu
A
matritsaning xos sonlari
1,2
2(
2)
e
turli ishorali. Demak, (1; )
muvozanat nuqta - egar.
Shunga oʻxshash ( 1;
)
maxsus nuqta ham egar ekanligi aniqlanadi.
Endi trayektoriyalarning yana ba`zi xususiyatlarini ushbu
2
(1
)(1
)
x
d y
x
x
y
dx
x
ye
xy
(*)
tenglamadan aniqlashtiramiz. Ravshanki,
0
x
x
ye
xy
, ya’ni
x
x
y
e
x
chiziq nuqtalarida trayektoriyaga urinmalar ordinatalar oʻqiga parallel boʻladi
d y
d x
. (*) formuladan
d y
d x
hosilaning ishorasi saqlanuvchi sohalarni
osongina topish va har bir sohada trayektoriya yoʻnalishlarini aniqlash mumkin
( 16.13- rasm).
Koʻrinib turibdiki,
1
y
toʻgʻri chiziq trayektoriyadan iborat. Bu trayektoriya
boʻylab harakat
x
ning kamayish yoʻnalishida boʻladi, chunki trayektoriyada
2
0
x
x
x e
. Yuqoridagilardan kelib chiqib trayektoriyalar manzarasini
quramiz (16.14- rasm).
16.13- rasm.
16.14- rasm (misol 5 uchun).
218
Masalalar
Chiziqli avtonom sistemalar muvozanat holatining turini (tabiatini)
aniqlang (
1
-
10
):
1.
2 ,
2
2
x
x
y y
x
y
.
2.
2 ,
2
2
x
x
y y
x
y
.
3.
2 ,
x
x
y y
x
y
.
4.
,
2
3
x
y y
x
y
.
5.
2
,
2
x
x
y y
x
y
.
6.
,
3
x
x
y y
x
y
.
7.
2 ,
2
x
x
y y
x
y
.
8.
2 ,
2
x
x y
y
.
9.
,
3
x
x
y y
x
y
.
10.
2 ,
3
4
x
x
y y
x
y
.
Nochiziqli avtonom sistemalarning maxsus (muvozanat) nuqtalarini
toping, ularning tabiatini tekshiring (
11
-
20
):
11.
2
2,
2
2
x
xy
x
y
y
xy
x
y
.
12.
2
2
2
2
2
,
x
x
x
y
y
x
y
.
13.
2
2
2,
3
2
x
y
y
y
xy
y
.
14.
2
ln(2
),
exp(
1)
x
x
y
y
x
y
x
.
15.
,
xy
x
xy y
e
x
.
16.
2
2
arctg(
2 ),
ln(
1)
x
x
x
y
y
x
x
y
.
17.
2
2
arctg(
3 ),
ln(
2
1)
x
x
x
y
y
x
x
y
.
18.
3
2
4,
2
2
1
x
x
y
y
x
y
x
.
19.
2
2
arcsin(2
4
8),
ln(1
4
)
x
xy
y
y
x
y
.
20.
3
2,
ln(1 2 )
x
x
y
y
y
x
.
Mustaqil ish № 16 topshiriqlari:
Berilgan avtonom sistemaning maxsus (muvozanat) nuqtalarini toping,
ularning tabiatini tekshiring va trayektoriyalar portretini quring.
1.
x
x
y
y
x
y
xy
2.
2
2
2
2
x
x
y
y
y
x
Do'stlaringiz bilan baham: |
