12- amaliy mashg’ulot 12. Trigonometrik funksiyalarni integrallash

12- AMALIY MASHG’ULOT

12.Trigonometrik funksiyalarni integrallash.
Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash.

kabi integrallarni hisoblash uchun trigonometrik funksiyalarning ko’paytmalarini yig’indiga keltirish formulalaridan foydalaniladi:

quyidagi integrallar hisoblansin:

1.		3.
2.		4.

Yechimlari.

1.

2.

3.

4.

1. 
   ko’rinishdagi integrallarni hisoblash uchun quyidagi 3 holni qarab qtamiz.
   

1-hol. Agar m=2k+1 kabi butun musbat toq son bo’lsa,

ya’ni integral darajali funksiyalar yig’indisini integrallashga keltirildi.

Agar kosinusning darajasi ham butun musbat toq son bo’lsa, yuqoridagiga qxshash usuldan foydalaniladi.
Misollar:






2-hol. Agar m+n=-2k (k>0 va butun son) bo’lsa, tgx=z yoki ctgx=z kabi almashtirishlar orqali qaralayotgan integral darajali funksiyalarni integrallashga keltiriladi.

Bu yerda: tgx=z bo’lsa,

bo’lganda

larni inobatga olish lozim.

Misollar:













3-hol. Agar da m+nq0 bo’lsa (m va n lar butun sonlar), mazkur integral, yoki (m>0), yoki (n>0) kabi integrallarni integrallashga keltiriladiki, ular mos ravishda tgx=z yoki ctgx=z almashtirishlar orqali hisoblanadi.
Misollar:


4. Agar va (n>0 – butun son) yoki (m>0, n>0 – butun sonlar) kabi integrallarni hisoblash lozim bo’lsa, ko’rinishdagi formulalar qo’llaniladi.

Mazkur formulalarni qo’llash natijasida integral ishorasi ostidagi trigonometrik funksiyalarning darajalari birmuncha pasayadi.

Misollar:

4. Agar faqat trigonometrik funksiyalarga ratsional ravishda bog’liq bo’lgan ifoda, ya’ni Sinx va Cosx ning ratsional funksiyasi bo’lgan R (Sinx, Cosx) ning aniqmas integrali ni hisoblash lozim bo’lsa, unda universal trigonometrik almashtirish deb ataluvchi dan foydalaniladi. Chunki, bu almashtirish yordamida R (Sinx, Cosx) funksiya har doim z ga nisbatan ratsional funksiya ko’rinishiga keltiriladi.

Bu yerda,

yoki x=2arctgz dan ni inobatga olsak,

ni hosil qilamiz. Bu yerda, - o’zgaruvchi z ga nisbatan ratsional funksiya.

Ta’kidlash lozimki, amaliyotda bu almashtirish ko’pincha ancha murakkab ratsional funksiyalarga olib keladi. Shu sababli, ba’zan undan foydalanmasdan ancha sodda o’rniga qo’yish usullardan foydalaniladi. quyida biz 3 holni ko’rib qtamizki, u yerda universal trigonometrik almashtirishlarsiz ish yuritish mumkin.

1-hol. Agar R (Sinx, Cosx) funksiya Sinx ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni R (-Sinx, Cosx)= - R(Sinx, Cosx) bo’lsa, u holda z=Cosx, dz=-Sinxdx kabi o’rniga quyish bu funksiyani ratsionallashtiradi.

2-hol. Agar R(Sinx, Cosx) funksiya Cosx ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni R(Sinx, -Cosx) = -R(Sinx, Cosx) bo’lsa, u holda z=Sinx, dz=Cosxdx kabi o’rniga qo’yish bu funksiyani ratsionallashtiradi.

3-hol. Agar R(Sinx, Cosx) funksiya Sinx va Cosx ga nisbatan juft bo’lsa, ya’ni R(-Sinx,- Cosx) = R(Sinx, Cosx) bo’lsa, u holda z=tgx, kabi o’rniga quyish bu funksiyani ratsionallashtiradi. Bu yerda, ni va larni inobatga olish lozim.