|
Teorema (Birinchi yaqinlashishga koʻra noturgʻunlik toʻgʻrisidagi).
Agar
A
matritsaning biror
j
xarakteristik soni uchun Re
0
j
boʻlsa, (8)
sistemaning ( )
0
t
x
yechimi noturgʻun boʻladi.
Misol 4.
Ushbu
2
2
2
sin
cos
2
ln(1
2 ) 3
4
4 1
3
z
x
x
y
e
x y
y
x
y
z
yz
z
x
y
z
z
sistemaning nol-yechimini turgʻunlikka tekshiring.
Turgʻunlikka tekshirishni birinchi yaqinlashishga koʻra amalga
oshiramiz. Buning uchun berilgan sistemani chiziqlilashtiramiz. Analizdan
ma’lum boʻlgan ushbu
3
2
2
2
2
sin
(
) ,
0;
cos
1
(
) ,
0;
1
( ) ,
0;
ln(1
)
( ) ,
0;
1
1
( ) ,
0;
2
t
x
x
O x
x
y
O y
y
e
t
O t
t
t
t
O t
t
t
t
O t
t
asimptotik yoyilmalarga asosan
0,
0,
0
x
y
z
boʻlganda
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
cos
(
) 1
(
) 1 2
(
)
2
(
),
z
x
y
e
x y
x
O x
O y
z
O z
x y
x
z
O x
y
z
2
2
2
2
2
ln(1
2 ) 3
2
2
((
2 ) ) 3
2
2
(
),
x
y
z
yz
x
y
z
O y
z
yz
x
y
z
O x
y
z
2
2
2
2
2
2
4 4 1
3
4 4 2
(
) 3
2
(
),
x
y
z
z
x
y
z
O z
z
x
y
z
O x
y
z
asimptotik tengliklarni hosil qilamiz (Ularni Teylor formulasiga koʻra ham
topish mumkin edi). Demak, berilgan sistema uchun birinchi yaqinlashish
quyidagi koʻrinishga ega:
2
2
2
2
x
x
z
y
x
y
z
z
x
y
z
Bu chiziqli sistemaning matritsasi
228
1
0
2
2
1
2
1
1
2
A
.
Uning xarakteristik tenglamasi
3
det(
)
6
0
E
A
.
3
3
0
(
6)
6 , (
6)
boʻlganligi uchun musbat xarak-
teristik son mavjud. Shuning uchun birinchi yaqinlashishga koʻra noturgʻunlik
toʻgʻrisidagi teoremaga asosan berilgan sistemaning nol-yechimi noturgʻun.
Birinchi yaqinlashishga koʻra turgʻunlik va noturgʻunlik toʻgʻrisidagi
teoremalar ishlamaganda Lyapunov funksiyalaridan foydalanish mumkin.
Lyapunov funksiyalari yordamida turgʻunlikka tekshirish
Agar ( )
x
v
(
t
ga bogʻliq boʻlmagan) funksiya
0
x
nuqtaning biror
(
0)
B
atrofida
1
C
sinfga tegishli, (0)
0
v
va shu atrofdagi barcha
0
x
nuqtalarda ( )
0
x
v
boʻlsa, u holda bu ( )
x
v
funksiyani
aniq musbat
funksiya
deymiz
va
buni
( )
0
x
v
kabi
ifodalaymiz.
Masalan,
2
2
2
1 1
2
2
( )
n
n
x
x
x
x
v
funksiya
(kvadratik
forma)
1
2
0,
0,
,
0
n
holida
aniq
musbat.
Lekin
2
2
2
( , )
2
(
)
x y
x
xy
y
x
y
v
funksiya, nomanfiy boʻlsada, aniq musbat
emas.
Ushbu
( , )
t
x
f
x
, ( , 0)
0,
0
t
t
f
, (10)
sistemani qaraylik. U, ravshanki,
0
x
yechimga ega.
( )
x
v v
funksiyaning
(10) sistemaga koʻra (toʻla) hosilasi deb
1
2
1
2
(10)
n
n
d
f
f
f
dt
x
x
x
v
v
v
v
(11)
miqdorga aytiladi.
Teorema (Lyapunovning turgʻunlik toʻgʻrisidagi teoremasi).
Agar
(10) sistema uchun ushbu
( )
0
x
v
va
(10)
0
d
dt
v
shartlarni qanoatlantiruvchi ( )
x
v
(aniq musbat va (10) sistemaga koʻra hosilasi
noldan kichik yoki unga teng) funksiya mavjud boʻlsa, (10) sistemaning
( )
0
t
x
yechimi turgʻun boʻladi.
229
Teorema (Lyapunovning asimptotik turgʻunlik toʻgʻrisidagi
teoremasi).
Aytaylik, (10) sistema uchun nol nuqtaning biror atrofida ushbu
( )
0
x
v
va
(1)
( )
0,
0,
d
w
dt
x
x
v
shartlarni qanoatlantiruvchi ( )
x
v
va uzluksiz ( )
w
x
funksiyalar mavjud boʻlsin.
U holda (10) sistemaning ( )
0
t
x
yechimi asimptotik turgʻun boʻladi.
Quyidagi teorema Lyapunovning noturgʻunlik toʻgʻrisidagi teoremasi-
ning umumlashishidir.
Teorema (Chetayevning noturgʻunlik toʻgʻrisidagi teoremasi).
Aytaylik, (10) sistema uchun quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
U
soha va
( )
x
v v
funksiya (Lyapunov funksiyasi) mavjud boʻlsin:
U
soha 0
n
nuqtaning biror
0
B
atrofida yotadi, ya’ni
0
U
B
va
0
U
;
(
)
C U
U
v
,
U
sohada
0
v
, lekin
U
ning
0
B
dagi qismida
0
( ) |
0
U
B
x
v
;
1
( )
C U
v
va biror
(
)
w C U
U
funksiya uchun
[0;
)
t
,
U
x
boʻlganda
(1)
( )
0
d
w
dt
x
v
.
U holda (10) sistemaning ( )
0
t
x
yechimi noturgʻun boʻladi (17.3- rasm).
17.3- rasm.
Lyapunov
funksiyalarini
ba’zan
kvadratik
forma,
1
2
( )
( )
(
)
(
)
n
x
x
x
x
v
v
v
v
(oʻzgaruvchilar ajralgan) koʻrinishlarida
izlash mumkin.
230
Misol 5.
Ushbu
3
x
y
x
y
x
y
x
sistemaning nol-yechimini turgʻunlikka tekshiring.
Berilgan sistemaning chiziqlilashtirilishi
x
y
x
y
x
y
yoki
1
1
,
,
1
1
x
x
A
A
y
y
koʻrinishga ega. Bu yerdagi
A
matritsaning xos sonlari
1
2
0,
2
.
1
0
boʻlganligi uchun birinchi yaqinlashishga koʻra turgʻunlik va noturgʻunlik
toʻgʻrisidagi teoremalar ishlamaydi.
Nol-yechimini turgʻunlikka tekshirish uchun Lyapunov funksiyasidan
foydalanamiz.
2
4
1
( , )
(
)
2
x y
x
y
x
v v
funksiyani qaraylik. Bu funksiya
aniq musbat, chunki
(0, 0)
0
v
va ( , )
(0, 0)
x y
boʻlganda
( , )
0
x y
v
.
Bundan tashqari, uning berilgan sistemaga koʻra hosilasi noldan kichik yoki
unga teng:
3
(
)
(
)
d
y
x
x
y
x
dt
x
y
v
v
v
3
3
4
(
)
2(
)
2
(
)
2(
)(
)
4
0
x
y
x
y
x
x
y x
y
x
x
Demak, Lyapunovning turgʻunlik toʻgʻrisidagi teoremasiga koʻra berilgan
sistemaning nol-yechimi turgʻun.
Misol 6.
Ushbu
3
3
x
y
x
y
x
y
sistemaning nol-yechimini turgʻunlikka tekshiraylik.
U
soha sifatida
2
2
1
{( , ) | 0
1}
\{(0;0)}
U
x y
x
y
B
toʻplamni
olaylik. Tushunarliki, (0;0)
U
.
2
2
x
y
v
boʻlsin.
U
sohada
0
v
va
U
ning
1
B
dagi qismida
1
(0;0)
|
|
0
U
B
v
v
;
( , )
x y
U
boʻlganda
v
funksiyaning berilgan sistemaga koʻra hosilasi
3
3
4
4
2 (
)
2 (
)
( , )
0 ,
( , )
2(
)
d
x
y
x
y x
y
w x y
w x y
x
y
dt
v
.
Demak, Chetayevning noturgʻunlik toʻgʻrisidagi teoremasiga koʻra berilgan
sistemaning nol-yechimi noturgʻun.
Chiziqlashtirilgan sistema:
x
y
y
x
,
0
1
1
0
A
,
2
1,2
1
0,
1
0,
1
i
.
231
Demak, berilgan sistema nol-yechimining turgʻunligini birinchi yaqinlashishga
koʻra aniqlab boʻlmaydi.
Misol 7.
Ushbu
5
3
3
5
x
x
y
y
x
y
sistemaning nol-yechimini turgʻunlikka tekshiring.
( , ) | |
0
{
|
}
U
x y
x
y
boʻlsin.
Tushunarliki,
(0;0)
U
.
4
4
x
y
v
deylik.
U
sohada
0
v
va
U
da
|
0
U
v
;
v
funksiyaning
berilgan sistemaga koʻra hosilasi
3
5
3
3
3
5
4
4
4
4
4
(
) 4
(
)
( , ) ,
( , )
4(
)(
) 0, ( , )
.
d
x x
y
y x
y
w x y
dt
w x y
x
y
x
y
x y
U
v
Chetayevning noturgʻunlik toʻgʻrisidagi teoremasi qralayotgan sistemaning
nol-yechimi noturgʻun ekanligini asoslaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
