|
3.
2
2
2
1
5
x
x
y
y
y
x
4.
3
2
3
2
1
1
x
y
x
y
x
x
5.
2
x
x
y
y
x
y
6.
2
(
1)
x
y
x
y
x
y
x
7.
3
3
1
1
x
y
x
y
x
x
8.
2
2
2
2
(
1)
(
1)
x
x
y
x
y
y
x
y
y
x
9.
2
2
2
(1
)
(1
)(1
)
x
y
x
y
y
x
y
10.
2
2
(1
)
x
y x
y
y
x
x y
219
11.
3
3
x
y
x
y
x
y
y
12.
2
2
2
x
xy
y
y
x
x
y
13.
3
3
3
(
1)
x
x
xy
y
y
y
14.
3
2
2
3
2
x
xy
y
y
x
x
y
x
15.
3
2
1
2
x
y
x
y
xy
16.
2
(1
)
(1
)
x
x
y
x
y
x
e
y
17.
2
2
2
2
2
2
(
)
6
3
3
(
)
x
x
y
y
xy
y
y
x
x x
y
18.
2
2
2
4
(1
)(1
)
x
y
y
y
x
y
19.
2
2
(1
)(
2 )
(1
)(2
)
x
x
x
y
y
y
x
y
20.
2
2
2
5
(
)(
1)
(2
2
3)
x
x
x
y y
y
y
x
y
x
21.
2
2
2
2
/
x
x
y
x
y
y
x
y
xy
22.
2
2
(
)
x
x
y
y
x
y y
23.
2
2
2
(
1)(
1)
x
x
y
y
x
x
y
24.
2
2
3
8
ln(1
)
x
x
y
y
x
x
25.
2
2
1
2
x
x
x
x
y
xy
y
e
e
26.
(
1)(
1)
(
2) ln(1
)
y
x
e
x
y
y
x
27.
4
(2
)(
2)
(
)(
1)
x
x
y
y
x
y
x
y
xy y
28.
2
4
2
2
x
x
y
xy
y
x
y
x
y
29.
(1
3 )
(
2)
x
x
y x
y
x
y
30.
2
2
6
2
8
x
x
xy
y
y
x
31.
2
2
4
4
x
x
y
y
xy
32.
2
2
4
1 3
x
x
y
x
y
y
x
33.
2
2
2
x
x
y
x
y
xy
34.
2
3
1
1 20
x
x
y
y
x
y
35.
2
2
arctg(
)
1
1
x
y
xy
y
x
y
36.
2
2
x
xy
y
x
y
37.
2
2
1
(
)
1
x
x
y
y
x
y
38.
2
3
1
1 20
x
x
y
y
x
y
220
39.
2
2
(1
)
1
2
(
)
x
x
y
x
y
x
y y
40.
2
1
2
3
2
x
x
xy
y
xy
x
17. DIFFERENSIAL TENGLAMALAR YECHIMLARINING
TURG‘UNLIGI
Maqsad -
differensial tenglamalar yechimlarini turgʻunlikka tekshirishni
oʻrganish
Yordamchi ma’lumotlar:
Differensial tenglamalarning quyidagi normal sistemasini qaraylik:
( , )
t
x
f
x
; (1)
bu yerda
(
;
)
n
D
f
C
(
[0,
),
n
D
soha) va ( , )
t
f
x
vektor-
funksiya
x
boʻyicha lokal Lipshits shartini qanoatlantiradi deb hisoblanadi. Bu
shartlarda
0
0
( ,
)
t
D
x
uchun ushbu
0
0
( , )
( )
t
t
x
f
x
x
x
masala
0
[ , )
t
t T
oraliqda
aniqlangan
(oʻngga
davomsiz)
yagona
0
0
( , ,
)
t t
x = x
x
yechimga
ega.
Yechimlarni
turgʻunlikka
tekshirish
masalalarida berilgan yechimlar oʻngga cheksiz davom etadi, ya’ni ular
0
[ ,
)
t
t
oraliqda aniqlangan deb hisoblanadi.
Bizga (1) tenglamaning
da aniqlangan
( )
t
x =
,
:
D
,
yechimi berilgan boʻlsin. Agar ixtiyoriy
0
t
va ixtiyoriy
0
sonlariga
koʻra shunday
0
soni topilsaki, (1) tenglamaning
0
0
( )
t
x
x
shartni
qanoatlantiruvchi
0
0
( , ,
)
t t
x = x
x
yechimlari
0
0
( )
t
x
boʻlganda mavjud
va oʻngga
gacha davom ettirilib, barcha
0
[ ,
)
t
t
paytlarda
0
0
|| ( , ,
)
( ) ||
t t
t
x
x
boʻlsa, u holda
( )
t
x =
yechim Lyapunov ma’nosida
turgʻun yechim deb ataladi (17.1- rasm).
Keltirilgan
shart
boshlangʻich
qiymatlarning
yaqinligidan
0
0
( )
t
x
barcha keyingi paytlarda ham yechimlarning yaqinligi
(
0
0
0
|| ( , ,
)
( ) ||
,
[ ,
)
t t
t
t
t
x
x
) kelib chiqishini anglatadi.
Umumiy holda topiladigan
0
soni tayinlangan
0
t
va berilgan
0
sonlarga bogʻliq boʻladi, ya’ni
0
( , )
t
. Agar keltirilgan ta’rifdagi
0
sonni
0
[0,
)
t
ga bogʻliqsiz holda tanlash mumkin, ya’ni
( )
221
boʻlsa, bu holdagi turgʻunlik (
da yoki
0
[0,
)
t
ga nisbatan) tekis
turgʻunlik deb ataladi. Agar
1)
( )
t
x =
yechim turgʻun va
2) shunday
0
0
mavjud boʻlib,
0
0
0
( )
t
x
ekanligidan
0
0
lim || ( , ,
)
( ) || 0
t
t t
t
x
x
boʻlishi kelib chiqsa,
u holda
( )
t
x =
yechim asimptotik turgʻun yechim deyiladi.
17.1-rasm.
Misol 1.
Ushbu
2
1
dx
x
dt
(2)
skalyar differensial tenglamaning
1
x
va
1
x
yechimlarini turgʻunlikka
tekshiring.
0
0
t
deb hisoblaymiz. Tenglamada
t
oʻzgaruvchi oshkor koʻrinish-
da qatnashmaganligi sababli hosil qilingan natijalar har qanday
0
0
t
uchun
ham oʻrinli boʻladi. Qaralayotgan tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratib integral-
lashlarni bajaramiz va uning
0
(0)
x
x
boshlangʻich shartli yechimini topamiz:
2
2
0
0
2
2
0
(1
) 1
( )
( , 0,
)
(
1) 1
t
t
t
t
e
x
e
x t
x t
x
e
x e
.
Dastlab
1
x
yechimni qaraylik. Uning turgʻunligi ta’rifga koʻra
quyidagini anglatadi:
0
0
0
1
0
( ) 1
x
t
x t
(3)
Quyidagilarga egamiz:
0
t
va
0
1
1
x
boʻlganda
2
1
t
e
va
0
0
x
hamda
2
2
0
2
2
0
(
1) 1
( ) 1
1
(
1) 1
t
t
t
t
e
x e
x t
e
x e
0
2
2
0
2
1
(
1) 1
t
t
x
e
x e
222
0
0
2
1
1 .
1 1
x
x
Demak, (3) shart bajarilishi uchun
0
ni
0
1
1
x
va
0
1
x
shartlardan tanlash lozim. Buning uchun
min(1, )
deyish kifoya. Shunday
qilib,
1
x
yechim turgʻun. U asimptotik turgʻun hamdir, chunki
0
1
x
boʻlganda
0
lim ( )
lim ( ,0,
) 1.
t
t
x t
x t
x
Endi
1
x
yechimni turgʻunlikka tekshiraylik. ( )
x t
yechim formulasi-
dan ravshanki,
0
1
x
x
nuqtadan boshlangan yechimlar chekli vaqtda
ka ketib qoladi, ya’ni ular oʻngga cheksiz davom etmaydi. Bundan tashqari,
1
ga xohlagancha yaqin, lekin
0
1
x
x
nuqtadan boshlangan yechimlar
t
da
1
ga intiladi, ya’ni ular
1
x
yechimdan uzoqlashadi. Aniqrogʻi,
oʻsha
0
x
lar uchun
2
0
2
2
0
2
1
( ) ( 1)
(
1) 1
t
t
t
e
x
x t
e
x e
ifodani barcha
0
t
lar uchun oldindan berilgan ixtiyoriy
(0; 2)
sondan
kichik qilib boʻlmaydi, chunki
lim
( ) 1
2.
t
x t
Demak,
1
x
yechim
turgʻun emas.
Yuqoridagi fikrlar turli boshlangʻich qiymatli yechimlar grafiklarining
joylashishidan osongina kelib chiqadi (grafiklarni quring).
Umumiy holda turgʻunlikdan tekis turgʻunlik kelib chiqmaydi;
xuddi shuningdek, turgʻunlikdan asimptotik turgʻunlik ham kelib chiqmaydi.
(1) ning oʻng tomonidan talab qilingan shartlarda
( )
t
x =
yechim
boshlangʻich ma’lumotlarga uzluksiz bogʻliq, ya’ni [ , ]
segment va
0
soni uchun shunday
0
topiladiki,
[ , ]
paytda
0
Do'stlaringiz bilan baham: |
