|
Misol 5.
Ushbu
2
4
(1
)
0
x y
x y
tenglamaning umumiy yechimini qatorlar yordamida quring.
250
Ravshanki,
0
x
nuqta bu differensial tenlamaning regular maxsus
nuqtasi. Yechimni
0
n
n
n
y
x
a x
umumlashgan darajali qator koʻrinishida
izlaymiz (
0
x
). Buni berilgan tenglamaga qoʻyib, noma’lum
va
n
a
lar
uchun joiz tenglamalarni tuzamiz va ularning yechimlarini topamiz:
2
2
2
0
0
4
(1
)
4
(
)(
1)
(1
)
n
n
n
n
n
n
n
x y
x y
x
n
n
a x
x
x
a x
1
0
1
4(
)(
1) 1
(
)
n
m
n
m
n
m
n
n
a x
a
x
0
1
1
4 (
1) 1
4(
)(
1) 1
0
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
a x
n
n
a
a
x
;
aniqlovchi tenglama
2
4 (
1) 1
(2
1)
0
ning ildizi (ikki karrali)
1
2
1/ 2
(
0
2 bandga qarang);
1
4(
)(
1) 1
0
(
)
n
n
n
n
a
a
rekurrent tenglamadan
0
1
a
deb va
1 / 2
ekanligini hisobga olib,
(
1)
n
a
n
koeffitsientlarni topamiz:
2
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
4
,
,
,
1.
4
4
4
( !)
n
n
n
n
n
n
n
k
n a
a
a
a
a
n
n
k
n
Shunday qilib, berilgan differensial tenglamaning
1/2
1
2
0
0
1
1
4
( !)
n
n
n
n
n
n
y
x
a x
x
x
n
( 0
)
x
yechimini hosil qildik.
Ikkinchi (undan) chiziqli erkli yechim
1/2
2
1
0
( ) ln
n
n
n
y
y x
x
x
a x
koʻrinishga ega boʻlishi kerak. Ikkinchi tartibli hosilani hisoblaymiz:
2
1/2
1
1
1
4
2
1
2
2
0
( )
( )
1
( ) ln
(
)
n
n
n
y x
y x
y
y x
x
n
a x
x
x
x
.
Endi
2
y
va
2
y
larni berilgan tenglamaga qoʻyib,
1
( )
y x
ning tenglama yechimi
ekanligini hisobga olib,
1
( )
y x
ning oʻrniga uning yoyilmasini qoʻyib va zarur
shakl almashtirishlar va ixchamlashtirishlarni bajarib, topamiz
2
1/2
2
1/2
1/2
2
2
1
2
1
1
1
1
4
(1
)
8
4
4
( !)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x y
x y
x
n a x
a
x
n
251
1
2
1/2
1
2
1
1
2
4
0
4
( !)
)
(
n
n
n
n
n
n
n a
a
x
n
Oxirgi tenglikdan
n
a
nomaʼlum koeffitsientlarni topish uchun ushbu
1
2
1
2
1
2
4
0 ,
1, 2,3,...
4
( !)
n
n
n
n
n a
a
n
n
yoki
1
1
2
2
1
1
,
1, 2,3,...
4
2 ( !)
4
n
n
n
a
a
n
n n
n
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamadan
n
a
lar ketma-ket rekurrent usulda
topilishi mumkin. Lekin biz
ular uchun bevosita formula hosil qilamiz. Buning
uchun
n
a
larni
2
1
1
4
( !)
n
n
n
a
z
n
koʻrinishda izlaymiz. Buni yuqoridagi tenglamaga qoʻyib, quyidagilarni
topamiz:
1
1
1
2
2
2
2
(
)
1
1
1
1
1
1
1
,
1, 2,3,...
4
4
4
( !)
2 ( !)
4
(
1)!
n
n
n
n
n
z
z
n
n
n n
n
n
;
1
2
,
1, 2,3,...
n
n
z
z
n
n
;
0
1
1
2
,
1, 2,3,...
n
n
k
z
z
n
k
.
Qulaylik uchun
0
0
z
deb hisoblab,
2
1
1
1
1
2
,
1, 2,3,...
4
( !)
n
n
n
k
a
n
k
n
ekanligini topamiz. Shunday qilib, berilgan tenglamaning ikkinchi chiziqli
erkli yechimini qurdik:
1/2
1/2
2
2
2
1
0
1
1
1
1
1
1
ln
2
4
4
( !)
( !)
n
n
n
n
n
k
n
n
y
x
x
x
k
n
n
.
Tenglamaning umumiy yechimi
1 1
2
2
y
c y
c y
formula bilan ifodalanadi.
Izoh.
Koʻrsatish mumkinki, berilgan tenglama Bessel funksiyalari orqali
ifodalangan ushbu
0
(
)
xJ
x
va
0
(
)
xY
x
chiziqli erkli yechimlarga ega.
252
Masalalar
Darajali qatorlar yordamida tenglamalarni va masalalarni yeching.
Qatorlarning yaqinlashish radiusini toping (
0
0
x
). (
1
-
7
):
1.
0
y
xy
y
.
2.
sin
x
y
e y
y
x
.
3.
1
0 , (0)
0,
(0)
1.
1
y
y
y
y
y
x
4.
1
0 , (0)
1,
(0)
1.
2
x
y
y
x y
y
y
x
5.
2
0
y
x y
.
6.
2
2
2
y
y
y
x
,
(0)
1,
(0)
1
y
y
.
7.
y
y
y e
xy
,
(0)
0,
(0)
1
y
y
.
Differensial tenglamalarning ikki dona chiziqli erkli yechimlari uchun
umumlashgan darajali (
0
0
x
markazli) qatorning dastlabki 3ta noldan farqli
hadini toping (
8
-
10
):
8.
2
(
3)
2
0
xy
x
y
y
.
9.
2
3
(
1)
0
x y
x
xy
y
.
10.
2
3
4(
1)
0
x y
xy
x
y
.
Mustaqil ish № 18 topshiriqlari:
I.
Berilgan differensial tenglamaning berilgan boshlangʻich shartlarni
qanoatlantiruvchi yechimi uchun markazi boshlangʻich nuqtada boʻlgan
darajali qatorning dastlabki
m
ta hadini toping. Har ikkala metoddan
foydalaning.
1.
2
sin
2
,
(1)
1,
(1)
0,
4
xy
y
x
x
y
y
m
.
2.
2
1
,
(0)
1,
(0)
0,
4
x
y
xy
e y
x
y
y
m
.
3.
2
2
(2
)
, (1) 1, (1) 1,
4
1
x
xy
x y
y
y
m
x
.
4.
(1
)
cos 3 ,
(0)
1,
(0)
2,
5
y
x y
x y
y
m
.
5.
2
ln
3
,
(1)
1,
(0)
2,
4
y
y
x
x
x
y
y
m
.
6.
2
(1
)
sin 3 ,
(0)
1,
(0)
1,
4
y
y
x
y
x y
y
m
.
7.
2
(1
)
tg ,
(0)
1,
(0)
1,
4
x y
x y
x y
y
m
.
8.
3
arctg
4
,
(0)
1,
(0)
1,
4
y
y
x
x
y
y
m
.
9.
tg , ( 1)
1,
( 1)
0,
5
3
y
y
y
x y
y
m
x
.
10.
2
arccos
1 2 ,
(0)
1,
(0)
2,
4
y
y
y
x
x y
y
m
Do'stlaringiz bilan baham: |
