|
x
w
f
w
w
f
x
(6)
masalaning yechimidan iborat boʻladi.
Agar
( , , )
t
x
f
x
tenglamaning oʻng tomoni
x
va
boʻyicha
m
marta uzluksiz differensiallanuvchi boʻlsa, uning
( ; )
t
x
yechimi ham
boʻyicha
m
marta uzluksiz differensiallanuvchi boʻladi. Bu tasdiqning aniq
ifodalanishi quyidagi teoremada keltirilgan.
Teorema 3.
Yechimning parametr boʻyicha differensiallanuvchanligi
toʻgʻrisidagi teorema 1 shartlariga qo‘shimcha holda
( , , )
t
f
x
funksiya
1
,...,
,
n
x
x
lar boʻyicha
m
C
sinfga tegishli boʻlsin. U holda
( ; )
t
x
yechimning
,
t
boʻyicha birinchi tartibli,
boʻyicha esa
m
tartibli
hosilalari uzluksiz boʻladi.
Differensial tenglamalarning taqribiy yechimlarini topishda
kichik
parametr metodi
muhim oʻrin tutadi. (1) nochiziqli masalaning
parametr
qiymati
0
boʻlgandagi yechimi
0
( )
t
x
ma’lum boʻlsin. U holda
parametrning 0 ga yaqin (kichik) qiymatlarida bu masalaning taqribiy
yechimini kichik parametr metodi yordamida qurish mumkin.
Teorema 4.
Aytaylik, teorema 3 ning shartlari
( , )
, | |
(
0)
t
D
x
sohada oʻrinli,
0
boʻlgandagi
0
1
2
(
[ , ])
t
t t
masalaning
0
( )
t
x
yechimi
1
2
[ , ]
t
t t
oraliqda aniqlangan boʻlsin. U holda (1) masalaning
( ; )
t
x
1
2
(
[ , ])
t
t t
yechimi uchun
0
1
2
2
( ; )
( )
( )
( )
...
( )
(
) ,
0 ,
m
m
m
t
t
t
t
t
o
(7)
asimptotik yoyilma oʻrinli; bundan tashqari, bu yerdagi kichik
o
1
2
[ , ]
t
t t
ga
nisbatan tekis ham boʻladi.
Konkret
masalalar
yechilganda
(7)
yoyilmani,
ya’ni
0
1
2
( ),
( ),
( ), ...,
( )
m
t
t
t
t
vektor-funksiyalarni aniqlash uchun yoyilmani
qaralayotgan tenglamaga qoʻyib,
0
1
2
2
( )
( )
( )
( )
...
(
)
( , ( ; ), ),
0,
m
m
m
d
t
d
t
d
t
d
t
o
t
t
dt
dt
dt
dt
f
oʻng tomonni
ning darajalari boʻyicha yoyib,
259
0
1
2
2
( )
( )
( )
( )
...
(
)
m
m
m
d
t
d
t
d
t
d
t
o
dt
dt
dt
dt
0
0
1
( ,
( ;0),0)
( ,
( ;0),0)
( , ( ;0),0)
( )
(
)
t
t
t
t
t
t
t
f
f
f
x
0
( ,
( ;0), 0)
...
!
( ) ...
(
) ,
0
(
)
m
m
m
t
t
m
t
o
f
x
,
hosil boʻlgan tenglikning chap va oʻng tomonlaridagi
ning bir xil darajalari
oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirish kerak:
0
0
0
( )
:
( ,
( ;0), 0)
d
t
t
t
dt
f
1
0
0
1
1
( )
( ,
( ;0), 0)
( ,
( ;0), 0)
:
( )
d
t
t
t
t
t
t
dt
f
f
x
0
( )
( ,
( ;0), 0)
:
!
( ) ...
m
m
m
d
t
t
t
m
t
dt
f
x
.
Bunda
1
2
( ) ,
( ) ,...,
( )
m
t
t
t
funksiyalar uchun chiziqli tenglamalar hosil
boʻladi.
0
0
t
x|
x
boshlangʻich shartdan
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
2
( ; )|
( )|
( )|
( )|
...
( )|
(
)|
,
0 ,
t t
t t
t t
t t
m
m
m
t t
t t
t
t
t
t
t
o
x
ya’ni
0
0
0
0
0
0
1
2
( )|
( )|
0,
( )|
0,
( )|
0
m
t t
t t
t t
t t
t
t
t
t
x
boshlangʻich shartlar hosil boʻladi. Hosil qilingan tenglamalardan
0
( )
t
dan
boshlab ketma-ket
1
2
( ) ,
( ) ,...,
( )
m
t
t
t
yechimlarni mos boshlangʻich
shartlarga koʻra topish kerak.
Misol 1.
Ushbu
2
1
,
|
1,
t
d x
t
x
dt
x
masala yechimining kichik
parametr darajalari boʻylab yoyilmasidagi
dastlabki uchta hadni toping.
Berilgan sistemaning oʻng tomoni
2
( , )
t x
D
,
|
|
sohada
xohlagancha marta uzluksiz differensiallanuvchi. Demak, teorema 4 ning
shartlari ixtiyoriy
m
uchun oʻrinli. Biz
2
2
0
1
2
( )
( )
( )
(
) ,
0,
x
t
t
t
o
yoyilmalardagi koeffitsientlarni topishimiz kerak. Bu yoyilmalarni berilgan
sistema va boshlangʻich shartlarga qoʻyamiz (
2
(
)
o
miqdorlar
0
da
tushuniladi):
260
2
2
2
2
2
0
1
2
0
1
2
2
2
0
1
2
1
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
,
( )
( )
( )
(
) |
1.
(
)
(
)
t
t
t
t
o
t
t
t
t
o
t
t
t
o
Bu yerdagi birinchi tenglamaning oʻng tomonini
ning darajalari boʻylab
yoyamiz (qavslarni ochib, tartiblari
2
gacha boʻlgan hadlarni saqlaymiz va
ixchamlashlarni bajaramiz):
2
2
2
0
1
2
0
0
1
2
2
2
1
0
2
( )
( )
( )
(
)
( )
2
( )
( )
(
( )
2
( )
( ))
(
) ,
(
)
t
t
t
o
t
t
t
t
t
t
o
t
2
2
0
1
2
1
(1)
(1)
(1)
(
)|
1
t
o
.
Endi
ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirib, quyidagi
masalalarni tuzamiz:
0
:
2
0
0
0
( )
( )
(1)
1
t
t
,
1
:
1
0
1
1
( )
2
( )
( )
(1)
0
t
t
t
t
,
2
:
2
2
1
0
2
2
( )
( )
2
( )
( )
(1)
0
t
t
t
t
.
Bu masalalarni birinchisidan boshlab ketma-ket yechamiz va quyidagilarni topamiz:
2
5
2
3
2
0
1
2
1
2
1
1
( )
,
( )
,
( )
112
24
4
21
4
16
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Demak, berilgan masala yechimi uchun ushbu
2
5
2
2
2
3
2
1
2
1
1
(
),
0,
112
24
4
21
4
16
(
)
(
)
t
t
t
x
o
t
t
t
t
asimptotik yoyilma oʻrinli. Bu yerda shuni e’tirof etaylikki, qaralgan
masalaning
( , )
x
x t
yechimi uchun
2
2
0
1
4
4
x
t
t
.
Misol 2.
Ushbu
2
2
0
0
(
),
(
),
|
1,
,
t
t
d x
x
x
y
dt
d y
y
x
y
dt
x
y
261
masala yechimining kichik parametr
darajalari boʻylab yoyilmasidagi
dastlabki uchta hadni toping.
Kichik parametr boshlangʻich shartda ham uchragan.
y
ning oʻrniga
y
kiritib, uni boshlangʻich shrartdan tenglamaning oʻng tomoniga
oʻtkazish mumkin. Lekin bu ishni bajarmasdan ham kerakli yoyilmani topsa
boʻladi. Yechim yoyilmasini yozamiz:
2
2
0
1
2
2
2
0
1
2
( )
( )
( )
(
)
,
0.
( )
( )
( )
(
)
x
t
t
t
o
y
t
t
t
o
Bu yoyilmalarni berilgan tenglamalar va boshlangʻich shartlarga qoʻyamiz:
2
2
2
2
0
1
2
0
1
2
2
2
2
2
2
0
1
2
0
1
2
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
),
t
t
t
o
t
t
t
o
t
t
t
o
t
t
t
o
2
2
2
2
0
1
2
0
1
2
2
2
2
2
2
0
1
2
0
1
2
2
2
0
1
2
0
2
2
0
1
2
0
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
1 ,
( )
( )
( )
(
)
,
(
)
(
),
(
)
(
)
t
t
t
t
t
o
t
t
t
o
t
t
t
o
t
t
t
o
t
t
t
o
t
t
t
o
Bu yerdagi birinchi va ikkinchi tenglamalarning oʻng tomonini
ning
darajalari boʻylab yoyamiz va barcha tengliklarda
ning bir xil darajalari
oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirib, quyidagi boshlangʻich masalalarni hosil
qilamiz:
0
:
0
0
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
(0)
1 ,
(0)
0.
,
,
t
t
t
t
1
:
2
1
1
0
0
2
1
1
0
0
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(0)
0,
(0)
1.
,
,
t
t
t
t
t
t
t
t
2
:
2
2
0
1
1
2
2
1
0
1
2
2
( )
( )
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
( )
( )
(0)
0,
(0)
0.
,
,
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
262
Bu masalalarni yechib quyidagilarni topamiz:
0
0
( )
( )
0
t
t
e
t
,
2
1
1
( )
( )
(1
)
t
t
t
t
e
e
t
t e
,
3
2
2
2
2
2
1
( )
2
(
1)
2
( )
(
1)
t
t
t
t
t
t
e
e
t
t
e
t
e
t
e
.
Demak, izlangan yoyilma quyidagi koʻrinishda boʻladi:
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
(
)
2
(
1)
(
)
2
,
0.
(1
)
(
(
1) )
(
)
(
)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x
e
e
e
e
e
t
t
e
o
y
t e
e
t
e
o
Misol 3.
Ushbu
2
2
2, (1)
x
x
x
t
x
a
t
masalaning yechimi uchun
1
a
x
a
ni hisoblang.
( ; )
x
x t a
berilgan masalaning yechimi boʻlsin. U holda quyidagi
ayniyatlar oʻrinli
2
2
( ; )
( ; )
( ; )
2, (1; )
x t a
x t a
x t a
t
x
a
a
t
t
.
Bu ayniyatlarni
a
parametr boʻyicha differensiallaymiz va
1
( ; )
( )
a
x t a
w
w t
a
belgilash kiritib topamiz:
2
2
,
(1)
1
w
w
x w w
t
,
bu yerda
x
funksiya berilgan masalaning
1
a
boʻlgandagi yechimi, ya’ni
2
2
2, (1)
1
x
x
x
t
x
t
.
Oxirgi masalaning yechimi, ravshanki,
x
t
. Demak, noma’lum
w
uchun
quyidagi masala hosil boʻldi:
2
,
(1)
1
w
w
w w
t
.
Bu masalani yechib, izlangan hosilani topamiz:
2
1
( ; )
t
a
x t a
e
w
et
a
.
263
Do'stlaringiz bilan baham: |
