Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

ildizlari kompleks sonlardan 
iborat boʻlsa
, u holda 
2
1



boladi (tenglamadagi koeffitsienlarning 
haqiqiyligi uchun) va 
(cos
sin
)
i
e
e
i
 






Eyler formlalaridan foydalanib 
chiziqli erkli haqiqiy 
1
2
( ),
( )
y x y x
yechimlarni qurish mumkin.
Misol 3.
Ushbu
2
9
2(1
)
0
x y
x y
 


differensial tenglamaning umumiy yechimini qatorlar yordamida quring. 

Tushunarliki, 
0
x

nuqta bu differensial tenlamaning regular 
maxsus nuqtasi:
2
2(1
)
0
9
x
y
y
x

 

; 
1
0
2(1
)
( )
0 ,
( )
9
x
p x
p x




koeffitsientlar 
0
x

nuqtada analitik. Qaralayotgan holda 
0
1
2
3
0 ,
2 / 9 ,
...
0
n
b
c
c
c
c




 
. 
Yechimni 
0
n
n
n
y
x
a x





(30) umumlashgan darajali qator koʻrinishida 
izlaymiz. Buni berilgan tenglamaga qo‘yib, noma’lum 

va 
n
a
lar uchun (34) 
va (33) tenglamalarning quyidagi koʻrinishini va yechimlarini hosil qilamiz: 
2
2
2
0
0
9
2(1
)
9
(
)(
1)
2(1
)
n
n
n
n
n
n
x y
x y
x
n
n
a x
x
a x






 



 



 





1
0
1
9(
)(
1)
2
2
(
)
n
m
n
m
n
m
n
n
a x
a
x













  




0
1
1
9 (
1)
2
9(
)(
1)
2
2
0
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
a x
n
n
a
a
x


 







 

  




Bu yerdan aniqlovchi tenglama: 
9 (
1)
2
0
 
  
; yechimlari: 
1
2
2
1
,
3
3




Ushbu 
1
9(
)(
1)
2
2
0
)
n
n
n
n
a
a




  


tenglikni 
9 (
1)
2
0
 
  
boʻlganligi uchun
1
9 (
2
1)
2
0
n
n
n n
a
a






koʻrinishda yozish mumkin. Oxirgi tenglikdan rekurrent formulani topamiz: 
1
2
,
9 (
2
1)
n
n
a
a
n
n n


 



. 

---

246
Endi ikki holni qarab chiqamiz. 
1) 
1
2
3
 


boʻlsin. U holda
1
1
2
2
,
1
9 (
2
1)
3 (3
1)
n
n
n
a
a
a
n
n n
n n



 
 




. 
Demak (
0
1
a

deb qabul qildik), 
1
1
2
2
1
1
,
1 ,
3 (3
1)
!
3
1
3
n
n
n
n
k
k
a
n
k k
n
k








 













va
2/3
1
0
1
0
2
1
1
!
3
1
3
n
n
n
n
n
n
k
n
y
x
a x
x
x
n
k



















koʻrinishdagi birinchi yechimni topamiz. Bu yerdagi qator 
|
|
x
 
boʻlganda 
yaqinlashuvchi. 
2)
2
1
3
 


boʻlsin. Bu holda 
1
1
2
2
,
1
9 (
2
1)
3 (3
1)
n
n
n
a
a
a
n
n n
n n



 
 




. 
Bundan 
1
1
2
2
1
1
,
1 ,
3 (3
1)
!
3
1
3
n
n
n
n
k
k
a
n
k k
n
k








 













va
1/3
2
0
1
0
2
1
1
!
3
1
3
n
n
n
n
n
n
k
n
y
x
a x
x
x
n
k



















koʻrinishdagi birinchi yechimga chiziqli bogʻliq boʻlmagan ikkinchi yechimni 
topamiz. Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi 
1 1
2
2
y
c y
c y


(
1
2
,
c c

const) , 
ya’ni
2/3
1/3
1
2
1
1
0
0
2
2
1
1
1
1
!
3
1
!
3
1
3
3
n
n
n
n
n
n
k
k
n
n
y
c x
x
c x
x
n
k
n
k




























formula bilan beriladi. 

Izoh.
Bu yerda shuni e’tirof etaylikki, berilgan tenglamada 
( )
( )
y x
xz x

almashtirishni bajarib, uni Bessel tenglamasiga keltirish va 
umumiy yechimni Bessel funksiyalari orqali
1
1/3
2
1/3
(
/
)
(
/
)
( )
2 2
3
2 2
3
c
y x
c
xJ
x
xY
x


koʻrinishda yozish mumkin. 

---

247
Misol 4.
Ushbu 
2
2
(
2 )
2
0
x y
x
x y
y






differensial tenglamanig chiziqli erkli yechimlarini qatorlar yordamida quring. 

Ravshanki, 
0
x

berilgan tenglama uchun regular maxsus nuqta. 
Tenglamani 
0
x

oraliqda qaraymiz. Yechimni
0
n
n
n
y
x
a x





koʻrinishidagi 
umumlashgan darajali qator sifatida izlaymiz. Buni berilgan tenglamaga 
qoʻyib, quyidagi shakl almashtirishlarni bajaramiz: 
2
2
2
2
0
2
1
0
0
(
2 )
2
(
)(
1)
(
2 )
(
)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x y
x
x y
y
x
n
n
a x
x
x
n
a x
a x







 



 










 









1
0
1
(
)
(
)(
1)
2 2(
)
(
1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a x
n
a
x















   


 



0
1
(
)
(
)
(
3)
2
(
)(
3)
2
n
n
n
a x
n
n
a x


 






 


  


1
1
(
1)
0
n
n
n
n
a
x







 


Demak, aniqlovchi tenglama: 
(
3)
2
0
 
  
, ildizlari: 
1
2
2,
1




(
0
3
bandga qarang). Noma’lum koeffitsientlar uchun tenglama 
1
(
)
(
)(
3)
2
(
1)
0
n
n
n
n
a
n
a





  
  

. 
1
2
 


uchun 
n
a
koeffitsientlar
1
(
)
(
2)(
1)
2
(
1)
0
n
n
n
n
a
n
a


 
 

, 
ya’ni 
1
0
n
n
na
a



, yoki
1
n
n
a
a
n

 
, 
1, 2,3,
n

, 
tenglamadan aniqlanadi. 
0
1
a

deb, oxirgi tenglamadan izlangan koeffitsient-
larni topamiz: 
( 1)
!
n
n
a
n


, 
0,1, 2,3,
n

. 
Demak, bitta yechim
2
1
0
( 1)
( )
!
n
n
n
y x
x
x
n





, ya’ni
2
1
x
y
x e


. 
Ikkinchi chiziqli erkli yechim ushbu 

---

248
2
2
1 1
0
( )
( ) ln
n
n
n
y x
a y x
x
x
a x







, ya’ni 
1
2
1 1
0
( ) ln
n
n
n
y
a y x
x
a x







koʻrinishga ega. Buni berilgan tenglamaga qoʻyamiz, 
1
( )
y x
ning tenglama 
yechimi ekanligini hisobga olamiz hamda zarur shakl almashtirishlarni va 
ixchamlashtirishlarni bajaramiz: 
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
1 1
0
(
2 )
2
ln
2
(
1)
n
n
n
x y
x
x y
y
a x y
x
a xy
a y
n
na x




















2
1
1
1
1 1
0
(
2 ) ln
(
2)
(
2)
(
1)
n
n
n
a
x
x y
x
x
a y
x
n
a x








 
 



1
1
1
0
2 ln
2
n
n
n
a
y
x
a x








2
1
1
1
1 1
1 1
0
2
2
3
(
1)
(
1)
n
n
n
n
n
n
a xy
a y
xa y
n
a x
n n
a x




















2
1
0
( 1) (2
1)
(
1)
!
n
n
n
n
n
a
n
a
x
n









 






3
3
1
2
0
0
( 1)
(
2)(
1)
!
n
n
n
n
n
n
a
x
n
n
a
x
n
















2
2
1
0
1
1
( 1) (2
1)
(
)
(
1)
!
n
n
n
n
n
a
a x
a
n
a
x
n












 






3
1
2
0
( 1)
(
2)(
1)
!
n
n
n
n
a
n
n
a
x
n









 







2
1
0
(
)
a
a x




3
1
1
2
0
( 1) (2
3)
(
2)
(
2) (
1)
0
(
1)!
n
n
n
n
n
n
a
n
a
n
n
a
x
n












 
 








. 
Demak, noma’lum koeffitsientlalar uchun quyidagi tenglamalar hosil boʻladi: 
1
0
0
a
a



, 
1
1
2
( 1) (2
3)
(
2)
(
2) (
1)
0
(
1)!
n
n
n
n
a
n
a
n
n
a
n













, 
0,1, 2,3,
n

. 
Oxirgi rekurrent tenglamadan 
2
1
1
( 1) (2
3)
1
(
)!
2 (
1)
1
n
n
n
n
a
a
a
n
n
n










,
0,1, 2,3,
n

. 

---

249
Soddalik uchun 
0
1
a

deb qabul qilamiz. U holda 
1
0
1
a
a

 
 
boʻladi. 
Qolgan koeffitsientlarni aniqlash uchun
1
( 1)
,
1, 2,3,
,
(
1)!
n
n
n
a
u
n
n





belgilashni kiritamiz. U holda yuqoridagi tenglamadan 
1
2
1
( 1)
( 1) (2
3)
( 1)
,
0,1, 2,3,
,
(
1)!
(
1)!
(
2)(
1)
!(
1)
n
n
n
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
n n







 







ya’ni
2
1
2
3
,
0,1, 2,3,
,
(
)(
1)
2
n
n
n
u
u
n
n
n








yoki
1
1
1
,
1, 2,3,
,
1
k
k
u
u
k
k
k


 


munosabatni hosil qilamiz. Qulaylik uchun 
1
1
u

deb qabul qilamiz va oxirgi 
tenglikni 
1, 2,
,
1
k
n


uchun yozib, hosil boʻlgan tengliklarrni hadma-had 
qoʻshamiz: 
1
1
1
2
n
n
k
u
n
k




,
1, 2,3,
n

. 
Demak,
1
1
( 1)
1
1
2
,
1, 2,3,
(
1)!
n
n
n
k
a
n
n
k
n










 


. 
Shunday qilib, 
2
1
x
y
x e


2
1
0
( 1)
!
n
n
n
y
x
x
n











yechimga chiziqli bogʻliq 
boʻl-magan ikkinchi yechim topildi: 
1
2
2
1
1
( 1)
1
1
ln
1
2
(
1)!
n
n
x
n
k
n
y
x e
x
x
x
n
k
n












 







 





.

Izoh.
Qaralgan tenglamaning chiziqli erkli yechimlari sifatida ushbu
2
x
x e

va
(
)
1
Ei(1,
)
x
x
xe
x



funksiyalarni olish mumkin; bu yerda 
1
Ei(1,
)
t x
e
x
dt
t

 


xossalari yaxshi 
oʻrganilgan eksponensial integral.