Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

 
8. 
2
2
2/3
cos
1,3
sin(
)
2
2(1
)
2
x
z
x
x
y
e
xy
y
x
y
z
z
x
y
z


  


  



      


 
9. 
2
2
3
3
1
0,5
sin(
2 )
2,5
ln(1
)
x
z
x
y
e
xy
y
x
y
z
z
x
y
y
z
 

 



  



  
 
 

 
10. 
3
2
/ 4
sin(
2 )
3
1
0,5
(1
)
1
z
x
x
y
y
z
y
x
e
z
z
x
y
z

 
 


     

  
 
 

 

---

234
11. 
3
2
3
sin(
2 )
2
2
1,5
ln(1
)
z
x
y
y
z
y
x
e
xz
z
x
y
z

   


   
 

  
 


 
12. 
3/4
4
2
(1
2 )
1
1
2,5
2
ln(1
)
z
x
x
y
z
y
x
e
xz
z
x
y
z


    


  
 

  




 
13. 
4
3
sin(
2 )
2
2
1,5
ln(1
)
y z
x
y
y
z
y
x
e
xz
z
x
y
z

   


   
 

  
 


 
14.
1/3
2
0,5
2
4
3(1
)
sin(
2 ) 3
ln(1
)
1
1,5
ln (1
)
y z
x
x
y
z
y
x
z
e
z
x
y
z


  





 
 



  
 


 
15. 
3
4
cos(
2 )
1
sin
1
2,5
ln(1
)
y z
x
x
y
z
z
y
y
x
e
xz
z
x
y
y
z


  

  

 

 

  
 
 

16. 
4
sin(
2 )
1,5
1
2
(1
)
1
y z
x
y
x
y
z
y
x
e
xz
z
x
y
y
z

   
 

  

 

        

 
17. 
2
3
4
sin(
3 )
1
1,5
2
ln(1
)
x y z
x
x
y
y
z
y
x
e
x z
z
x
y
z
 
    


   
 

  




 
18. 
2
3
4
sin(
2 )
0,5
(
1)
ln(1
)
y z
x
y
x
y
z
y
x
y
e
xz
z
x
y
z
x

  
 

  
 



    



 
19. 
4
3
cos
sin(
2 )
1,5
ln(1 2 )
x
x
y
y
y
y
x
y
z
xy
z
x
y
z

  

   



   



 
20. 
cos
2,5
0,5sin(
2 )
1 3
1
x
x
y
y
y
z
y
x
y
z
xy
z
x
y
z
    

   



      

 
21. 
4
3
(1 2 )
1
3
cos
sin(
2 )
1,5
1
z
x
x
y
y
y
x
y
z
xy
z
x
y
e

  
 


 
 



  



 
22. 
2/3
2
4
2(1
2 )
2
0,5
sin(
1)
ln(1
)
y z
x
z
x
y
z
y
x
y
e
z
y
z
x


  
  


 
 


   



 
23. 
2
2/3
4
sin(
2 )
0,5
(cos
1)
ln(1
)
x
x
x
y
z
y
x
y
z
xz
z
x
y
z
x
  
 

  
 



    



24. 
1/3
2
sin ln(1
2 )
0,5
2(
1)
(1
)
1
y z
x
z
x
z
y
x
y
e
z
y
z


  
 

 
 


     

 
25. 
2/3
2
4
(1
2 )
1
0,5
sin(
1)
ln(1
)
y z
x
z
x
y
z
y
x
y
e
z
y
z
x


     


 
 


   



 
26. 
3
2
4
1
2
1
0,5
sin(
1)
ln(1
)
y z
x
z
x
y
z
y
x
y
e
z
y
z
x

   
 
 

 
 


   



 
27. 
3
2/3
2
4
3
(
1)
(1
2
2 )
1
cos
ln(1
)
y z
x
z
y
e
y
x
x
y
z
z
y
y
z
z


 
 


    



  




 
28. 
3
2/3
2
4
3
(
1)
(1
2
2 )
1
cos
ln(1
)
y z
x
z
y
e
y
x
x
y
z
z
y
y
z
z


 
 


    



  




 

---

235
29. 
4
2
1
2
1
0,5
sin(
)
ln(1
)
x
z
x
y
z
y
x
y
y
z
z
y
x
z
     
 

  



   
 

 
30. 
3
2/3
3
2sin(
2
3 )
0,5
(cos
1)
3
ln(1
)
x
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
x
   



  
 


    



 
III. 
Ushbu 
( , )
t
 
x
f
x
differensial tenglamalar sistemasi va uning 
( ),
0,
t
t


x

yechimi berilgan boʻlsin. Bu yechimni turgʻunlikka tekshirish 
algoritmini (yoʻlini) keltiring.
18. DIFFERENSIAL TENGLAMALAR YECHIMLARINI
QATORLAR YORDAMIDA QURISH
Maqsad 
– differensial tenglamalar yechimlarini darajali va umumlash-
gan darajali qatorlar yordamida qurishni oʻrganish 
Yordamchi maʼlumotlar: 
I. Analitik koeffitsientli differensial tenglamani uning regular nuqtasi 
atrofida yechish. 
Differensial tenglamada qatnashgan funksiyalarning barchasi analitik 
boʻlganda, uning yechimlarni darajali qator yigʻindisi sifatida topish mumkin 
boʻladi. Shu munosabat bilan dastlab matematik analiz kursidan maʼlum 
boʻlgan analitik funksiya taʼrifi va uning baʼzi xossalarini eslaylik. 
Agar bir oʻzgaruvchining 
( )
y
f x

funksiyasi 
0
x
nuqtaning biror 
atrofida biror
0
0
(
)
n
n
n
a x
x




(
0
x
markazli) darajali qatorning yigʻindisi sifatida 
tasvirlansa, yaʼni
0
0
0
( )
(
) , |
|
(
0),
n
n
n
f x
a x
x
x
x
 








(1) 
yoyilma (tenglik) oʻrinli boʻlsa , u holda
( )
y
f x

funksiya 
0
x
nuqtada 
analitik funksiya deyiladi. Analizdan maʼlumki, masalan, 
sin , cos ,
x
x
x e
funksiyalari ixtiyoriy 
0
(
;
)
x
  
, ln
x
funksiya esa ixtioriy 
0
0
x

nuqtada 
analitik. 
Ushbu 
0
0
(
)
n
n
n
a x
x




darajali qatorning 
R
yaqinlashish radiusi uchun, 
maʼlumki, 
1
lim
n
n
n
a
R


Koshi formulasi oʻrinli. Yaqinlashish radiusi qator 
yaqinlashadigan eng katta
0
|
|
(
0)
x
x
R
R



itervalni aniqlaydi, 
R
 
boʻlganda darajali qator 
(
,
)
 
oraliqda yaqinlashuvchi boʻladi. (1) formula 
aslida 
0
|
|
x
x
R


yaqinlashish intervalida oʻrinli boʻladi. (1) dagi darajali 
qatorni xohlagancha marta hadma-had differensiallash mumkin; bunda 
qatorning yaqinlashish radiusi 
R
oʻzgarmaydi va

---

236
( )
0
0
( )
(
1)...(
1)
(
)
, |
|
,
,
k
n k
n
n k
f
x
n n
n
k
a x
x
x
x
R k





 





formulalar oʻrinli boʻladi. 
0
x
nuqtada analitik funksiya (1) darajali qatorning 
yaqinlashish intervalida, yaʼni bu intervalning har bir nuqtasida analitik 
boʻladi. (1) formuladagi darajali qator koeffitsientlari uchun
( )
0
(
)
,
0,1, 2,... (0! 1; 1! 1; ! 1 2 ...
,
),
!
n
n
f
x
a
n
n
n n
n




   

formulalar oʻrinli, ya’ni analitik funksiya oʻzining Teylor qatori yigʻindisidan 
iborat.
Agar
0
0
0
0
0
( )
(
)
(
) , |
|
(
0),
n
n
n
n
n
n
f x
a x
x
a x
x
x
x
 













boʻlsa, bu darajali qatorlarning mos koeffitsientlari bir xil, ya’ni 
n
n
a
a

(
0,1, 2,...)
n

(yagonalik xossasi).
Analitik funksiyalar 
0
0
1
0
( )
(
) , |
|
n
n
n
f x
a x
x
x
x
R







, va 
0
0
2
0
( )
(
) , |
|
n
n
n
g x
b x
x
x
x
R







, 
berilgan boʻlsin. Ularning yigʻindisi va ayirmasi ham analitik funksiya va
0
0
1
2
0
( )
( )
(
)(
) , |
|
min(
,
) ,
n
n
n
n
f x
g x
a
b
x
x
x
x
R R









yoyilma oʻrinli; koʻpaytma funksiya ham analitik va uning darajali qatorga 
yoyilmasi berilgan qatorlarni formal ravishda koʻpaytirishdan hosil boʻladi: 
0
0
0
0
0
0
( ) ( )
(
)
(
)
(
) ,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f x g x
a x
x
b x
x
c x
x







 








 


 




0
1
1
0
0
1
2
0
...
, |
|
min(
,
) ;
n
n
k n k
n
n
n
k
c
a b
a b
a b
a b
x
x
R R






 



bundan tashqari, qoʻshimcha ravishda
0
(
)
0
g x

ham boʻlsa, u holda
( ) / ( )
f x
g x
nisbat
0
x
nuqtada analitik funksiya boʻladi va
0
0
0
( )
(
) , |
|
,
( )
n
n
n
f x
d x
x
x
x
g x








(
1
2
min(
,
)
R R


boʻlishi mumkin) yoyilmaning 
n
d
koeffitsientlari
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
) ,
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
k
n k
n
n
n
n
k
a x
x
b x
x
d x
x
b d
x
x











 









 


 




 
tenglikdagi 
0
(
)
x
x

ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni tenglash-
tirish yordamida topilishi mumkin. Analitik funksiyalar kompozitsiyasi ham 
analitik boʻladi. Differensial tenglama yechimini darajali qator yigʻindisi 

---

237
sifatida topish, ya’ni analitik yechimni qurish algoritmi (jarayoni) bilan 
ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama misolida tanishamiz. Birinchi 
yoki yuqori tartibli chiziqli tenglama yoki chiziqli tenglamalar sistemasi ychun 
ham analitik yechimni topish jarayoni shunga oʻxshash amalga oshiriladi. 
Analitik yechimni topish uchun tenglama(lar)dagi barcha koeffitsientlar 
analitik boʻlishi kerak. 
Aniqrogʻi, ushbu
1
0
( )
( )
( )
y
p x y
p x y
q x





(2) 
tenglamani qaraylik. Quyidagi teorema oʻrinli. 
Teorema. 
Faraz 
qilaylik, 
1
0
( ),
( )
p x
p x
va 
( )
q x
funksiyalar 
0
0
(
,
)
x
R x
R


intervalda analitik boʻlsin. U holda har qanday 
0
a
va 
1
a
sonlar 
uchun ushbu 
1
0
0
0
0
1
( )
( )
( ),
(
)
,
(
)
,
y
p x y
p x y
q x
y x
a
y x
a








Koshi masalasi 
0
0
(
,
)
x
R x
R


intervalda aniqlangan yagona analitik yechimga 
ega. 
Analitik yechimni qurish uchun uni 
0
x
markazli hozircha noma’lum 
koeffitsientli darajali qator yigʻindisi sifatida yozamiz: 
0
0
1
1
0
(
) , |
|
(
0),
n
n
n
y
a x
x
x
x
R
R








(3) 
bu yerda 
(
0,1, 2,...)
n
a
n


noma’lum koeffitsientlar. Bu koeffitsientlarni 
topishning ikki usuli mavjud.