|
Teorema 2.
Aytaylik,
1
2
( , ),
( , ),...,
( , )
n
v x u v x u
v x u
funksiyalar (10)
xarakteristik sistemaning
n
dona erkli birinchi integrallari hamda
0
0
(
,
)
x u
O
,
0
0
1
0
(
,
)
,
v x u
v
0
0
0
0
2
0
0
(
,
)
,...,
(
,
)
n
v x u
v
v x u
v
boʻlsin.
funksiya
0
0
0
1
2
(
,
,...,
)
n
n
v v
v
nuqtaning biror atrofida
1
C
,
1
2
( ( , ),
( , ),...,
( , ))
n
v x u v x u
v x u
murakkab funksiyaning
u
boʻyicha hosilasi
0
0
(
,
)
x u
nuqtada noldan farqli (
0
0
(
,
)
|
0
u
x u
) hamda
0
0
0
1
2
(
,
,...,
)
0
n
v v
v
shartlar
bajrilsin. U holda
1
2
( ( , ),
( , ),...,
( , ))
0
n
v x u v x u
v x u
(11)
tenglik
(9)
tenglamaning
0
n
x
nuqta
atrofida
aniqlangan
0
0
( ), (
)
,
u
u x u x
u
oshkormas yechimini beradi; aksincha, ixtiyoriy bunday
271
( )
u
u x
yechim yuqoridagi xususiyatlarga ega boʻlgan
funksiya orqali (11)
tenglik bilan oshkormas koʻrinishda beriladi. Demak, (11) munosabat (9)
tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi (lokal).
(9) tenglama uchun Koshi masalasini yechish uchun tenglamaning
umumiy yechimini (11) koʻrinishda yozib, boshlangʻich shartdan foydalanib
noma’lum
funksiyani aniqlash lozim.
Boshqacha ish tutish ham mumkin. Aytaylik, (9) tenglamaning
0
0
1
2
1
1
|
( ,
,...,
,
,...,
)
k
k
k
k
n
x
x
u
x x
x
x
x
(12)
boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak boʻlsin. Faraz
qilaylik, (10) sistemaning
n
dona erkli birinchi integrallari topilgan boʻlsin:
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
( ,
,...,
,
,
,...,
, )
,
( ,
,...,
,
,
,...,
, )
,
...........................................................
( ,
,...,
,
,
,...,
, )
.
k
k
k
n
k
k
k
n
n
k
k
k
n
n
v x x
x
x x
x u
c
v x x
x
x x
x u
c
v x x
x
x x
x u
c
(13)
Bu yerda boshlangʻich shartga koʻra
0
k
k
x
x
va
0
u
deymiz:
0
1
1
2
1
1
0
1
0
2
1
2
1
1
0
2
0
1
2
1
1
0
( ,
,...,
,
,
,...,
,
)
,
( ,
,...,
,
,
,...,
,
)
,
...........................................................
( ,
,...,
,
,
,...,
,
)
.
k
k
k
n
k
k
k
n
n
k
k
k
n
n
v x x
x
x x
x
c
v x x
x
x x
x
c
v x x
x
x x
x
c
(14)
Hosil boʻlgan bu (14) sistemadan
1
2
1
1
,
,...,
,
,...,
k
k
n
x x
x
x
x
oʻzgaruvchilarni
yoʻqotib, quyidagi bogʻlanishni hosil qilamiz:
0
1
2
(
, ,
,...,
)
0.
k
n
x c c
c
Bu yerdagi
1
2
,
,...,
n
c c
c
larni (13) birinchi integrallardagi mos qiymatlari
1
2
( , ),
( , ),...,
( , )
n
v x u v x u
v x u
bilan almashtirib, qaralayotgan (9),(12) Koshi
masalasining oshkormas yechimini topamiz:
0
1
2
(
, ( , ),
( , ),...,
( , ))
0.
k
n
x v x u v x u
v x u
(15)
Agar boshlangʻich shart ushbu
1
1
2
2
1
2
( ,
,...,
, )
0,
( ,
,...,
, )
0
n
n
x x
x u
x x
x u
(16)
oshkormas koʻrinishda berilgan boʻlsa, u holda
272
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
( ,
,...,
, )
0,
( ,
,...,
, )
0,
( ,
,...,
, )
,
( ,
,...,
, )
,
...................................
( ,
,...,
, )
.
n
n
n
n
n
n
n
x x
x u
x x
x u
v x x
x u
c
v x x
x u
c
v x x
x u
c
(17)
sistemadan
1
2
,
,...,
,
n
x x
x u
oʻzgaruvchilarni yoʻqotib
1
2
( ,
,...,
)
0
n
c c
c
bogʻlanishni hosil qilamiz va
1
2
,
,...,
n
c c
c
larni birinchi integrallardagi mos
qiymatlari
1
2
( , ),
( , ),...,
( , )
n
v x u v x u
v x u
bilan almashtirib qaralayotgan (9),(16)
Koshi masalasining oshkormas yechimini topamiz:
1
2
( ( , ),
( , ),...,
( , ))
0
n
v x u v x u
v x u
. (18)
Misol 5.
Koshi masalasini yeching
2
2
1
(
)
|
x
y
x
xuu
yuu
x
y
u
y
0,
0
y
x
. (19)
Dastlab berilgan tenglamaning umumiy yechimini quramiz. Buning
uchun xarakteristik sistemani yozamiz:
2
2
.
(
)
dx
dy
du
xu
yu
x
y
Birinchi integrallarni topamiz:
1
;
dx
dy
dx
dy
y
c
xu
yu
x
y
x
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
(1
)
(
)
(1
)
.
[
]
[
]
dy
du
du
x
y
y
c x
udu
x
c dx
yu
dy
yu
x
y
y
u
x
c
c
c
x
y
u
c
x
Topilgan
1
y
c
x
va
2
2
2
2
x
y
u
c
birinchi integrallar erkli. Demak, berilgan
tenglamaning
( , )
u
u x y
yechimi uchun
2
2
2
,
0
y
x
y
u
x
munosabatni hosil qilamiz; bu yerda
ikki oʻzgaruvchining (
1
C
)
funksiyasi. Oxirgi tenglikni
2
2
2
x
y
u
ga nisbatan yechib, qaralayotgan
tenglamaning ushbu
273
2
2
2
( )
y
x
y
u
x
(20)
koʻrinishdagi yechimini hosil qilamiz. Endi
1
|
x
u
y
Koshi shartiga koʻra (20)
dan topamiz:
2
2
2
1
( )
( ) 1 2
.
y
y
y
y
y
x
x
Oxirgi formulani (20) ga qoʻyib, berilgan (19) Koshi masalasining
( , )
u
u x y
yechimi uchun
2
2
2
2
1 2
y
x
y
u
x
tenglamani hosil qilamiz. Bundan
2
2
4
2
2
2
0,
0
y
x
x
x y
u
x
y
x
.
Misol 6.
Quyidagi Koshi masalasini yechaylik:
2
1
(
)
,
.
x
y
x
xyu
x u u
yu
u
y
Xarakteristik sistemani tuzamiz:
.
dx
dy
du
xy
x
u
yu
Ikkita erkli birinchi integrallarni topamiz:
1
,
d x
du
u
c
x
xy
yu
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2(1
)
2 1
2
2
.
(
)
d x
d y
d x
d y
d x
d y
xy
x
u
xy
x
c x
y
c
u
y
c x
c
y
x
c
x
y
x
u
c
Endi quyidagi sistemadan , ,
x y u
oʻzgaruvchilarni yoʻqotamiz:
2
1
2
2
1,
,
,
2
2
.
x
u
y
u
c
x
y
x
u
c
Bundan:
1
2
2
.
c
c
274
Bu yerda
1
u
c
x
,
2
2
2
2
c
y
x
u
deb, qoʻyilgan Koshi masalasining
( , )
u
u x y
yechimini oshkormas koʻrinishda hosil qilamiz:
2
2
2
2 .
u
y
x
u
x
Bundan
u
ni osongina topamiz:
2
(
2
2)
2
1
x y
x
u
x
.
Izoh.
Berilgan Koshi masalasining yechimini misol 5 dagiga o‘xshash
fikr yuritib ham topish mumkin:
2
2
2
2
2
,
2
2
0
2
2
2
2
2
;
u
u
y
x
u
y
x
u
x
x
y
y
y
t
t
,
Demak,
2
2
2
2
u
y
x
u
x
va
2
(
2
2)
2
1
x y
x
u
x
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
