|
.
108.
4
x
y
y
y
.
109.
1
3
0
2
dx
x
dy
y
x
.
110.
1 cos
3
/
xy
y
y
.
111.
(
1)
2
4
x
y
xy
.
112.
(
1)(
1)
2
x x
y
y
.
113.
5
sin
y
y
x
y
.
114.
2
(4
1)
xy
y
y
.
115.
y
x
y
x
x
.
116.
4
arctg
xy
y
y
x
.
117.
2
y
y
x
e
.
108
118.
2
2
ydx
xdy
y x
y dx
.
119.
2
2
2
y
y
xy
x
.
120.
2
2
2
y
y
xy
x
.
121.
sin(
)
y
y
x
.
122.
(
1)(
1)
2
x
y
y
.
123.
2
2
y
xy
y
e
.
124.
2
2
2
x
x
y
y
e
e y
.
125.
2
2
2 sin
cos
sin
y
y
x
y
x
x
.
126.
2
(
2
)
(
1)
0
y
y
e
xy dx
xe
x
dy
.
127.
2
3
3
(1 3
ln )
(3
)
0
y
x
y dx
y
x dy
.
128.
2
3
(
3
)
(
)
0
y
y
x
x y
e dx
y
x
xe dy
.
129.
2
sin
cos
cos
0
xy
xy
xy dx
x
xydy
.
130.
4
3
(
2
1)
4
x
y
y
x
.
131.
2
(
1)
(
1)(
3
)
x x
y
y
y
x
.
132.
sin
2
cos
y
x
x
y
x
.
133.
2
2
2
2
3
(
)
(
2
)
y y
x dx
x x
y
xy dy
.
134.
tg
2
cos
y
y
x
y
.
135.
2
(
2 )
(2
3 )
0
x
y
y
e dx
xy
e dy
.
136.
3
1/2
(6
2
1)
/
y
x
y
y
.
137.
(cos
)
(
)
0
y
x
y dx
x
e dy
.
138.
(2
1 ln )
0
ydx
x
y dy
.
139.
2
2
2
2 (
1)
3
2
1
y x
y
x
xy
.
140.
3
2
(2
sin
)
(2
sin 2 )
0
x
y dx
x
xy
y dy
.
141.
2
2
2
2
(1
)(2
)
(1
)(3
)
0
y
x dx
x
y dy
.
142.
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
(
)
(
)
x
y
dx
y
x
dy
x
y
.
143.
(
2
)
(
2
)
0
y
y
x x dx
x
x
y y dy
.
144.
/
/
4
4
0
(
)
x y
x y
ye
dx
y
xe
dy
(
0
y
).
145.
2
(
)
2
0
x
e
y y
y
.
146.
2
2
2
3
y
y
yy
.
147.
2
sin
cos
cos
0
x
y
x
y
.
148.
0
x y
y x
e
e
y
.
149.
2
3
4
xy y
y
x
.
150.
2
(4
2 ln
ln )
0
ydx
x
x
x
x
y dy
.
151.
2
1
0
yy
x y
.
152.
2
(1
)
1
xy y
y
.
153.
(
)
2
y
x
ye
y
.
154.
2
(4
2 ln )
0
x y
y
y dx
xdy
.
155.
3
1
1
(
)
3
y
x
y
.
156.
2
0
x y
xy
e
109
9. YUQORI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR,
ULARNING TARTIBINI PASAYTIRISH VA YECHISH
Maqsad
– yuqori tartibli differensial tenglama uchun Koshi masalasi
yechimining mavjudligi va yagonaligi to‘g‘risidagi teoremani va tenglama
tartibini pasaytirish metodlarini o‘rganish.
Yordamchi ma’lumotlar:
I. Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi.
Ushbu
( )
( , , ,...,
)
0
n
F x y y
y
(1)
n
-tartibli differensial tenglamani qaraylik (
2
n
). Biz bu tenglamani yuqori
tartibli hosila
( )
n
y
ga nisbatan yechiladi deb faraz qilamiz:
( )
(
1)
( , , ,...,
)
n
n
y
f x y y
y
; (2)
bunda
1
1
( , ,
,...,
)
n
f x y p
p
funksiya biror
1
( )
n
D f
to‘plamda aniqlangan va
uzluksiz deb hisoblanadi..
Lipshits sharti.
Agar shunday
0
L
mavjud bo‘lib, ixtiyoriy
1
1
( , ,
,...,
)
n
x y p
p
Е
va
1
1
( , ,
,...,
)
n
x y p
p
Е
nuqtalar uchun
1
1
1
1
1
1
1
1
( , ,
,...,
)
( , ,
,...,
)
...
n
n
n
n
f x y p
p
f x y p
p
L
y
y
p
p
p
p
(3)
bo‘lsa,
1
1
( , ,
,...,
)
n
f x y p
p
funksiya
E
to‘plamda
1
1
,
,...,
n
y p
p
o‘zgaruvchilarga nisbatan Lipshits shartini qanoatlantiradi deyiladi.
Teorema_(Lipshits_sharti_uchun_yetarli_shart_)'>Teorema (Lipshits sharti uchun yetarli shart
)
. Agar
1.
n
G
sohaga
uning
ixtiyoriy
1
1
( , ,
,...,
)
n
x y p
p
G
va
1
1
( , ,
,...,
)
n
x y p
p
G
nuqtalar bilan birgalikda ularni tutashtiruvchi kesma
1
1
1
1
1
1
( ,
(
),
(
),...,
(
)) 0
1
n
n
n
x y
y
y p
p
p
p
p
p
ham
tegishli bo‘lsa;
2.
G
sohada
1
1
( , ,
,...,
)
n
f x y p
p
funksiya uzluksiz va barcha
1
1
,
,...,
n
дf дf
дf
дy дp
дp
xususiy hosilalar mavjud va chegaralangan bo‘lsa, u holda
f
funksiya
G
sohada
1
1
,
,...,
n
y p
p
o‘zgaruvchilarga nisbatan Lipshits shartini qanoatlantiradi.
Koshi masalasi
.
Ushbu
(
1)
0
0
0
0
,
,
,...,
n
x y
y
y
haqiqiy sonlar berilgan va
(
1)
0
0
0
0
(
,
,
,...,
)
( )
n
x y
y
y
D f
bo‘lsin.
n
-tartibli (1) tenglamaning ushbu
(
1)
(
1)
0
0
0
0
0
0
(
)
,
(
)
,
,
(
)
n
n
y x
y y x
y
y
x
y
110
Koshi shartlar (boshlang‘ich shartlar)ni qanoatlantiradigan yechimini biror
0
(
)
I
x
I
oraliqda topish Koshi masalasi (yoki boshlang‘ich masala) deyiladi
va bu masala
( )
(
1)
(
1)
(
1)
0
0
0
0
0
0
( , ,
,...,
)
(
)
,
(
)
,
,
(
)
n
n
n
n
y
f x y y
y
y x
y y x
y
y
x
y
(4)
ko‘rinishda yoziladi. E’tirof etish kerakki, boshlang‘ich shartlar (Koshi
shartlari) ning barchasi bitta
0
x
nuqtada qo‘yilgan.
Teorema
(
mavjudlik va yagonalik teoremasi
−
MYaT
). Ushbu
1
1
1
0
0
(
1)
1
0
1
0
( , ,
,...,
)
,
,
,...,
(
0,
0)
n
n
n
n
П
x y p
p
x x
a y y
b
p
y
b
p
y
b
a
b
parallelipipedda
1
1
( , ,
,...,
)
n
f x y p
p
funksiya birato‘la barcha o‘zgaruvchilari
bo‘yicha uzluksiz va
1
1
( ,
,...,
)
n
y p
p
o‘zgaruvchilarga nisbatan Lipshits shartini
ham qanoatlantirsin. U holda (4) Koshi masalasi biror
0
x
x
h
oraliqda
aniqlangan
( )
y
y x
yagona yechimga ega bo‘ladi.
Izoh.
Teoremadagi
h
musbat sonni quyidagicha tanlash mumkin:
1
1
min
,
max{ ,|
|, ..., |
|}
n
П
b
h
a
m p
p
;
bu yerda
1
1
( , ,
,...,
)
n
f x y p
p
m
(
1
1
( , ,
,...,
)
n
x y p
p
П
,
m
o‘zgarmas musbat
son (
m
son mavjud, chunki
П
chegaralangan va yopiq, ya’ni u kompakt
hamda
:
f П
uzluksiz).
Misol 1.
Ushbu
2
2
cos(
)
2
(1)
0,
(1)
1,
(1)
2
y
y
y y
x
y
y
y
( 5)
masalaga Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi to‘g‘risidagi
teoremani tatbiq etaylik.
Berilgan
tenglamaning
o‘ng
tomonidagi
2
2
1
2
1
2
( , ,
,
)
cos(
) 2
f x y p p
p
p y
x
funksiyaning
1
4
(
)
С
sinfga tegishliligi
ravshan. Biz
П
-parallelipiped sifatida
4
1
2
1
2
( , ,
,
)
|
1
2,
1,
1
1,
2
1
П
x y p p
x
y
p
p
ni
olaylik.
Ushbu
111
2
2
1
1
1
2
2
6,
sin(
) 2
4,
2
2.
дf
дf
дf
p
p
p
y
дy
дp
дp
baholashlardan berilgan tenglamaning o‘ng tomoni Lipshits shartini qanoatlan-
tirishi kelib chiqadi. U holda MYaT ga ko‘ra biror
1
x
h
oraliqda yagona
yechim mavjud.
Izoh.
Ravshanki,
П
da
1
2
2,
3
p
p
bo‘lgani uchun
1
2
max(16,
,
)
16
П
p
p
va
1
2
1
1
1
min 2,
min 2,
max(16,
,
)
16
16
П
h
p
p
.
Demak, (5) masala
1
1
16
x
oraliqda yagona yechimga ega.
Yuqori tartibli differensial tenglama uchun Koshi masalasiga
keltiriluvchi bir misol qaraylik.
Masala.
m
massali yuk (moddiy nuqta) bikirlik koeffitsienti
k
bo‘lgan
prujina yordamida konteyner devoriga bog‘langan. Konteyner yopishqoqlik
koeffitsienti
bo‘lgan suyuqlik bilan to‘ldirilgan (8.1- rasm.). Yukka
x
o‘qining
0
x
nuqtasida
0
v
boshlang‘ich tezlik berildi (
0
x
yukning tinch
(muvozanat) holatiga mos keladi). Yukning
x
o‘qi bo‘ylab harakatini
ifodalovchi tenglama va boshlang‘ich shartlarni yozing.
8.1- rasm.
Yuk markazi
( )
x
x t
nuqtada bo‘lganda unga
x
o‘qi bo‘ylab
prujinaning elastiklik kuchi
el
F
kx
(Guk qonuni) va suyuqlikning qarshilik
kuchi
qar
dx
F
dt
ta’sir etadi. Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra
ma
F
,
bunda
2
2
d x
a
dt
tezlanish,
F
ta’sir
etuvchi
kuch.,
el
qar
dx
F
F
F
kx
dt
. Demak, harakat tenglamasi
2
2
d x
dx
m
kx
dt
dt
,
ya’ni
112
2
2
0
d x
dx
m
kx
dt
dt
ko‘rinishga ega. Harakat
0
x
nuqtadan
0
v
tezlik bilan boshlangan bolsin. Bunga
quyidagi boshlang‘ich shartlar mos keladi:
0
0
(0)
(0)
,
dx
x
x
v
dt
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
