|
II.6.
Umumlashgan bir jinsli tenglamalar.
Agar ushbu
( )
( , , ...,
)
0
n
F x y y
y
(20)
tenglamada
( )
, , ...,
n
x y y
y
larni mos ravishda
1
,
,
,...,
k
k
k n
larga
ko‘paytirilganda tenglamaning chap tomoni uchun
1
( )
( )
(
,
,
,...,
)
( , , ,...,
)
k
k
k n
n
n
F
x
y
y
y
F x y y
y
(21)
shart bajarilsa, (20) tenglama
umumlashgan bir jinsli tenglama
deyiladi. Bu
turdagi tenglamalarni yechish uchun
x
va
y
o‘rniga
,
t
kt
x
e
y
ze
(22
0
)
deb, yangi
t
erkli o‘zgaruvchi va
( )
z
z t
noma’lum funksiyalarni kiritamiz
(bu almashtirish
0
x
bo‘lganda qo‘llaniladi,
0
x
bo‘lganda esa
t
х
е
kt
y
ze
almashtirishdan foydalanish kerak ) va avtonom tenglamaga kelamiz.
Haqiqatdan ham,
y
ning
x
bo‘yicha hosilalarini yangi noma’lum funksiya
z
ning
t
argument bo‘yicha hosilasi orqali ifodalaymiz. Ushbu
1
1
,
t
dy
dy dt
dy
dy
y
dx
dx
dt dx
dt
dt e
dt
yoki
t
dy
y
e
dt
(23)
munosabatlar ravshan. (22
0
) tengliklardagi ikkinchi formulani
t
bo‘yicha
differensiallab,
kt
dy
dz
kz e
dt
dt
tenglikka ega bo‘lamiz. Buni (23)ga qo‘yib,
(
1)
k
t
dz
y
kz e
dt
(22
1
)
munosabatni hosil qilamiz. Biz
у
ning
х
bo‘yicha hosilasini
z
ning
t
bo‘yicha
hosilasi orqali ifodalovchi munosabatga ega bo‘ldik. Xuddi shu yo‘sinda ishni
122
davom ettirib,
у
ning
х
bo‘yicha yuqori tartibli hosilalarini ham
z
ning
t
bo‘yicha hosilalari orqali ifodalab chiqamiz.
2
(
2)
2
(2
1)
(
1)
,
(
)
t
k
t
dy
dy
d z
dz
y
e
k
k k
z e
dx
dt
dt
dt
(22
2
)
3
2
3
2
(3
3)
(
1)
(
(
t
dy
dy
d z
d t
y
e
k
k k
dx
dt
dt
dt
(
3)
(
2)(2
1)
(
1)(
2)
)
)
k
t
dz
k
k
k k
k
z e
dt
(22
3
)
……………………………
va, nihoyat,
( )
(
)
,
,...,
)
(
n
n
n
k n t
dz
d z
y
z
dt
dt
e
. (22
n
)
Endi (20) tenglamada (22
0
), (22
1
), (22
2
), ..., (22
n
) almashtirishlarni bajarib,
ushbu
(
1)
(
)
( ,
, (
)
,..., ( ,
,...,
)
)
0
n
t
kt
k
t
k n t
n
dz
dz
d z
F e ze
kz e
z
e
dt
dt
dt
tenglamani hosil qilamiz. (21) tenglikdagi
t
o‘rniga
t
e
ni qo‘yib,
t
e
ni
F
funksiya ishorasi oldiga chiqarib, va unga qisqartirib,
1, ,
,...,
,
,...,
0
)
(
(
)
n
n
dz
dz
d z
F
z
kz
z
dt
dt
dt
n
-tartibli tenglamani hosil qilamiz. Bu avtonom tenglamadir, ya’ni tenglamada
erkli o‘zgaruvchi
t
oshkor ko‘rinishda qatnashmagan; shuning uchun II.5.
bandga ko‘ra uning tartibi bittaga pasayadi.
Misol 8.
Ushbu
2
3
yy
xyy
xy
x
tenglamani yeching.
Qaralayotgan tenglamaning chap tomonidagi birinchi had darajasi
1
k
k
ga teng, chunki birinchi ko‘paytuvchi
y
ni
k
y
ga ikkinchi
ko‘paytuvchini esa
1
k
y
ga almashtirganda ko‘paytmada
1
k k
yy
hosil
bo‘ladi, shunga o‘xshash, ikkinchi had darajasi
1
2
k
k
, uchinchi had
darajasi 1 2(
1)
k
va nihoyat, oxirgi had darajasi 3 ga teng. Barcha darajalarni
tenglashtirib, ushbu
1 1
2 1 2(
1)
3
k
k
k
k
k
k
ni aniqlovchi munosabatni topamiz. Bu tengliklardan
2
k
ga ega bo‘lamiz.
Demak, berilgan umumlashgan bir jinsli tenglamada
t
х е
,
2
t
y
ze
almashtirishni bajarib, tenglamani avtonom turga olib kelsak bo‘ladi. Buning
123
uchun ,
y
y
larni yangi noma’lum
z
funksiya
t
erkli o‘zgaruvchi va
z
ning
t
bo‘yicha hosilalari orqali ifodalaymiz:
2
2
(
2
)
(
2 )
((
2 ) )
3
2
t
t
t
t
t
t
t
t
dy
dy
y
e
z e
ze
e
z
z e
dx
dt
dy
dy
d z
z e e
y
e
z
z
z
dx
dt
dt
Endi berilgan tenglamada zarur almashtirishlarni bajaramiz:
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
(
2 )
(
3
2 )
(
2 )
,
(
2
3
2 ) (
4
4
) 1,
4
4
4
4
1,
1 0.
t
t
t
t
t
t
t
ze
z
z e
e ze
z
z
z
e z
z e
e
z z
z
z
z
z
z
z z
z
zz
zz
z
z
zz
z
z z
z
Oxirgi avtonom tenglamani yechish uchun, odatdagidek, yangi noma’lum
funksiya sifatida
p
z
ni olib,
z
ni erkli o‘zgaruvchi sifatida qaraymiz. U
holda
(
)
dz
dz
dz
dp
z
p p
p
dt
dz dt
dz
va
2
1 0
p p z
p
,
2
1
p p z
p
,
2
1
p dp
dz
z
p
.
Oxirgi tenglikni integrallab,
2
1
ln(
1)
2 ln(
)
p
z c
1
(
0)
c
ga ega bo‘lamiz,
yoki
2
2
2
1
1
p
z
c
. Bu tenglikda
p
z
ga qaytib,
2
2
2
1
1
z
z
c
va bundan
2
1
(
)
1
z
zc
o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga kelamiz. Uni
yechamiz va
t
x
e
va
2
t
y
ze
tengliklarga ko‘ra ushbu
1
1
2
2
2
1 2
1
2
c
c
с с y c x
x
(
0)
x
yechimni hosil qilamiz.
II.7. Chap tomoni to‘la hosiladan iborat bo‘lgan tenglama.
Faraz qilaylik,
( )
( , , ,...,
)
0
n
F x y y
y
(24)
tenglamaning chap tomoni
(
1)
, ,
,...,
n
x y y
y
o‘zgaruvchilarning funksiyasi
bo‘lmish biror
(
1)
( , ,
,...,
)
n
Ф x y y
y
ning
x
bo‘yicha to‘la hosilasidan iborat
bo‘lsin, ya’ni
( )
(
1)
( , ,
,...,
)
( , ,
,...,
)
n
n
d
F x y y
y
Ф x y y
y
dx
(25)
yoki
124
( )
( )
(
1)
( , ,
,...,
)
...
n
n
n
дФ дФ
дФ
дФ
F x y y
y
y
y
y
дx
дy
дy
дy
(25)
tenglik barcha joiz
( )
, , ,...,
n
x y y
y
o‘zgaruvchilarga nisbatan aynan bajarilsin.
U holda (24) tenglamaning tartibi bittaga kamayadi va ushbu
(
1)
1
( , ,
,...,
)
n
Ф x y y
y
c
ko‘rinishni oladi.
Agar (24) tenglamaning chap tomoni to‘la hosiladan iborat bo‘lmasa,
ba’zi hollarda shunday
(
1)
( , , ,...,
)
n
x y y
y
funksiyani topish mumkin
bo‘ladiki, (24) tenglamani har ikkala tomonini shu
ga ko‘paytirib, to‘la
hosilali tenglama hosil qilamiz. Bu
funksiya integrallovchi ko‘paytuvchi deb
ataladi.
Masalan, agar berilgan ikkinchi tartibli differensial tenglama
( , )
( , )
( )
G x y
G x y
y
x
y
y
dF y
dy
( ( , ), ( )
G x y F y
berilgan funksiyalar), ko‘rnishda bo‘lsa, uni
( )
dF y
dy
integrallovchi ko‘paytuvchiga ko‘paytirib, ushbu
( )
( , )
dF y
dG x y
dx
dx
, ya’ni
( )
( , )
0
(
)
d
F y
G x y
dx
tenglamaga kelamiz. Oxirgi tenglamadan
1
( )
( , )
F y
G x y
c
birinchi tartibli
differensial tenglamani hosil qilamiz.
Agar
( , ,
)
( , ,
)
( , ,
)
(
)
H x y y
H x y y
H x y y
y
y
x
y
y
y
dF y
dy
(
( , ,
), (
)
H x y y
F y
berilgan funksiyalar) ko‘rinishdagi uchinchi tartibli
differen-sial tenglama berilgan bo‘lsa, uni
(
)
dF y
dy
integrallovchi
ko‘paytuvchi yordamida ushbu
1
(
)
( , ,
)
F y
H x y y
c
ikkinchi tartibli
tenglamaga keltirish mumkin.
Misol 9.
Ushbu
(
1)
0
yy
y y
tenglamani yeching.
125
Bu tenglamani yechish uchun
2
1
y
integrallovchi ko‘paytuvchini
tenglamaning har ikkala tomoniga ko‘paytiramiz:
2
(
1)
0
yy
y y
y
.
Oxirgi tenglikning chap tomoni
1
y
y
funksiyaning
x
bo‘yicha hosilasidir:
2
(
1)
1
1
yy
y y
y
dx
y
y
.
Demak,
1
1
y
c
y
yoki
1
1
y
y c
,
1
c
.
Bu tenglamani o‘zgaruvchilarni ajratib yechamiz.
1
(
1)
dy
yc
dx
,
1
1
dy
dx
c y
.
Integrallashlar va ixchamlashlarni bajaramiz:
1
1
2
ln
1
c y
c x
c
,
2
2
2
ln
,
0
c
c
c
;
1
1
2
2
1
,
0
c x
c y
e
c
c
.
Bundan
1
2
1
1
(1
)
c x
y
c e
c
(26)
yechimni topamiz.
Endi yechish jarayonini analiz qilaylik. Dastlabki tenglamani
2
y
ifodaga
bo‘lishda
0
y
yechim yo‘qolgan. Bundan tashqari, tenglamani
1
1
c y
ga
bo‘lishda
1
1
1/
,
0,
y
c
c
yechimlar (ular
2
0
c
da hosil bo‘ladi),
1
0
c
da
esa
1 0
y
da hosil bo‘luvchi
2
y
x
c
yechimlar yo‘qolgan. (26)
formuladan
0
y
va
2
y
x
c
yechimlar hosil bo‘lmaydi.
Javob:
1
2
1
1
(1
)
c x
y
c e
c
,
0
y
,
y
x c
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
