|
17.
2
2
yy
x
y
,
2
2
0
y y
y
.
18.
2
3
xy y
y
x
,
2
2
0
y y
y
y
.
19.
2
xyy
xy
yy
,
3
(
)(
)
0
x y
y
xy
y
xy
x
.
20.
2
3
xy
y y
y
,
2
0
yy
y
.
21.
2
1
yy
yy
y
x
,
2
2
(2
)
2
1 0
x
yy
y
xyy
.
22.
2
(
)
4
0
xy
y y
y
,
2
3
4
2
4
0
x y y
y
x
.
23.
2
2
y y
x yy
xy
,
2
3
0
xy
y y
.
24.
2
2
0
xyy
y
,
2
3
0
y y
y
.
25.
2
3
xyy
yy
x y
,
4
3
3
1 0
x y
x y
.
26.
3
2
yy
xyy
x
xy
,
1
y
y
.
27.
3
2
(
)
x y
xy
y
,
2
2
0
yy
y
.
28.
2
2
4
3
x y
y
x
xy
,
2
3
(1
)
2
4
x
y
xy
x
.
29.
(
2)
1
y
y y
e
,
2
2
0
x yy
y
.
30.
(1 2 ln
) 1
y
y
,
2
2
0
y
xy
.
31.
3
2 2
(1
)
y
y
,
2
2
0
xyy
xy
yy
.
32.
4
3
(
)
0
x y
xy
y
,
3
4
y y
.
33.
4
y
y
e
,
2
xyy
xy
yy
.
34.
2
2
2
yy
y y
y
,
2
4
x y
xy
y
.
35.
2
4
3
3
3
xy y
x
y
,
2
xy
y
x
.
36.
2
cos
sin
y
y
y
y
y
,
3
2
(
)
0
x y
xy
y
.
37.
3
4
4
1 16
y y
y
,
4
2
(
)
0
x y
xy
y
38.
2
2
4
3
(
)
xy yy
y
yy
x y
,
2
0
xy
yy
.
39.
ln 2
y
x
x
,
3
4
2(
)
0
x y
xy
y
.
40.
2
2
(1
)
1 0
x
y
y
,
2
2
2
2
2
(
)
x
yy
y
xyy
y x y
y
.
132
10. O‘ZGARUVCHAN KOEFFITSIENTLI CHIZIQLI
DIFFERENSIAL
TENGLAMALAR
Maqsad
– chiziqli erkli funksiyalar, chiziqli differensial tenglamalar
tartibini pasaytirish, ular yechimlarini tanlash usuli bilan topish va umumiy
yechimni qurishni o‘rganish
Yordamchi ma’lumotlar:
n
tartibli chiziqli differensial tenglama
( )
(
1)
1
1
0
( )
( )
...
( )
( )
( )
n
n
n
n
a x y
a
x y
a x y
a x y
g x
ko‘rinishga ega; bunda
( )
y
y x
noma’lum funktsiya, berilgan
1
1
0
( )
0,
( ),...,
( ),
( )
n
n
a x
a
x
a x a x
koeffitsientlar va ( )
g x
ozod had (o‘ng tomon)
biror
I
oraliqda aniqlangan va uzluksiz deb hisoblanadi. Agar kerak bo‘lsa,
tenglamaning har ikala tomonini
( )
n
a x
ga bo‘lib, uni
( )
(
1)
1
1
0
( )
...
( )
( )
( )
n
n
n
y
a
x y
a x y
a x y
g x
(1)
ko‘rinishga keltirish mumkin. Ushbu
( )
(
1)
1
1
0
( )
...
( )
( )
0
n
n
n
y
a
x y
a x y
a x y
(1
0
)
temglama (1)ga mos (chiziqli) bir jinsli tenglamani ifodalaydi.
1
0
.
Qo‘yilgan
1
1
0
( ),...,
( ),
( ), ( )
( )
{
}
n
x
a x a x g x
C I
a
shartlarda (1)
tenglama-ning
(
1)
1
0
0
0
0
0
0
(
)
,
(
)
' ,
,
(
)
n
n
y x
y
y x
y
y
x
y
1
0
0
0
0
(
,
, ' ,
,
n
x
I y
y
y
berilgan sonlar)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlan-
tiruvchi yechimi mavjud va yagona. Bu yechim birato‘la
I
oraliqda aniqlangan
bo‘ladi.
1
2
( ),
( ),
,
( ),
,
n
y x
y x
y x
x
I
funksiyalar berilgan bo‘lsin. Agar kamida
bittasi noldan farqli bo‘lgan
1
2
,
,
,
n
sonlar mavjud bo‘lib, ular uchun
1 1
2
2
( )
( )
( ) 0,
,
n
n
y x
y x
y x
x
I
shart (
x
I
ga nisbatan ayniyat) bajarilsa, qaralayotgan funksiyalar chiziqli
bog‘langan (chiziqli erksiz) deyiladi. Aks holda esa ular chiziqli erkli (chiziqli
bog‘lanmagan) funksiyalar deyiladi.
2
0
.
Agar
1
2
( ),
( ),
,
( )
n
y x
y x
y x
funksiyalar
I
oraliqda
1
n
marta
differensiallanuvchi va ularning ushbu
1
2
1
2
1
2
(
1)
(
1)
(
1)
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ( ),
( ),
,
( )]
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
y x
y x
y x
y x
y x
y x
W x
W y x y x
y x
y
x
y
x
y
x
133
Vronskiani
I
oraliqning biror nuqtasida noldan farqli bo‘lsa, bu funksiyalar
I
oraliqda chiziqli erkli bo‘ladi.
3
0
.
(1
0
) tenglamaning
n
ta chiziqli erkli yechimlari uning fundamental
(bazis) yechimlari deyiladi. (1
0
) tenglamaning fundamental (bazis) yechimlari
mavjud va uning ixtiyoriy yechimi tayin fundamental (bazis) yechimlarning
chiziqli kombinatsiyasi kabi ifodalanadi. Agar
1
2
( ),
( ),
,
( )
n
y x
y x
y x
funksiyalar
(1
0
) tenglamaning fundamental (bazis) yechimlari bo‘lsa, uning umumiy
yechimi
1 1
2
2
( )
( )
( )
n
n
y
c y x
c y x
c y x
(2)
formula bilan beriladi; bunda
1
2
,
,
,
n
c c
c
ixtiyoriy o‘zgarmaslar. Umumiy
yechim tenglamaning barcha yechimlarini va faqat ularni ifodalaydi.
4
0
.
(1
0
) tenglamaning ixtiyoriy
n
ta
1
2
( ),
( ),
,
( )
n
y x
y x
y x
yechimlarining
( )
W x
Vronskiani uchun Ostrogradskiy-Liuvill formulasi deb
ataluvchi ushbu
0
0
1
0
( )
(
) exp
( )
(
,
)
x
n
x
W x
W x
a
s ds
x
I x
I
(3)
formula o‘rinli. Chiziqli erkli yechimlarning Vronskiani nolga aylanmaydi.
5
0
.
Agar
1
2
( ),
( ),
,
( )
n
y x
y x
y x
funksiyalar
( )
n
C
I
sinfga tegishli va
ularning
1
2
( )
[ ( ),
( ),
,
( )]
n
W x
W y x y x
y x
Vronskiani
I
oraliqda nolga
aylanmasa, fundamental (bazis) yechimlari shu funksiyalardan iborat bo‘lgan
(1
0
) ko‘rinishdagi
n
tartibli yagona chiziqli differensial tenglama mavjud va
bu tenglama ushbu
1
2
1
2
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
1
2
( )
( )
( )
( )
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y x
y x
y x
y
y x
y x
y x
y
W x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
(4)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
