|
Eslatma.
Ikkinchi
1
2
( )
y x
x
yechimni, tushunarliki,
2
( )
y x
x
ko‘rinishda izlab ham topish mumkin edi.
Misol 5.
Berilgan
1
( )
x
y x
e
va
1
2
( )
y x
x
funksiyalarga ko‘ra ular
qanoatlantiruvchi eng kichik tartibli chiziqli differensial tenglamani tuzing.
Berilgan funksiyalarning Vronskiani
1
2
2
( )
(
1)
x
x
x
e
x
e
W x
x
x
e
x
(
; 1), ( 1;0)
va (0;
)
oraliqlarining har birida nolga aylanmaydi.
Demak, shu oraliqlarning ixtiyoriy birida fundamental (bazis) yechimlari
1
( )
x
y x
e
va
1
2
( )
y x
x
bo‘lgan ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial
tenglama
(4) formulaga ko‘ra qurilishi mumkin:
138
1
2
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
0
( )
( )
y x
y x
y
y x
y x
y
y x
y x
y
,
1
2
3
0
2
x
x
x
e
x
y
e
x
y
e
x
y
,
1
1
2
2
3
3
0
2
2
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
x
y
y
y
e
x
e
x
e
x
,
2
(
1)
(
2)
(
2)
0
x x
y
x
y
x
y
,
2
2
2
0
(
1)
(
1)
x
x
y
y
y
x x
x x
.
Misol 6.
Ushbu
2
(2
1)
4(
1)
4
4
x
x
y
x
y
y
xe
(12)
tenglamaning umumiy yechimini quring.
Ma’lumki, chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning
umumiy yechimi uning biror xususiy yechimiga mos bir jinsli tenglamaning
umumiy yechimini qo‘shishdan hosil bo‘ladi.
Dastlab mos bir jinsli tenglama
(2
1)
4(
1)
4
0
x
y
x
y
y
(13)
ning fundamental (bazis) yechimlarini topishga harakat qilamiz. Yechimni
x
y
e
ko‘rinishida izlab,
2
ni topamiz. Demak,
2
1
( )
x
y x
e
(13)
tenglama-ning yechimi. Yana bir yechimni Ostrogradskiy-Liuvill formulasi (3)
ga ko‘ra yoki tenglamada
2
x
y
e u
almashtirishni bajarib topsa bo‘ladi. Bu
misolda, yaxshisi, yechimni
y
kx b
ko‘rinishda izlaylik. Bu chiziqli
funksiyani tenglamaga qo‘yib, uning qanoatlanishi uchun
1 ,
1
k
b
bo‘lishi
kerakligini aniqlaymiz. Demak, ikkinchi yechim
2
1
y
x
. Topilgan
yechimlarning Vronskiani
2
2
2
1
( )
(2
1)
2
1
x
x
x
e
x
W x
e
x
e
bo‘lgani uchun ular chiziqli erkli. Shuning uchun (13) bir jinsli tenglamaning
umumiy yechimi
2
1
2
(
1)
x
y
c e
c x
(14)
ko‘rinishda yoziladi.
Endi berilgan (12) tenglamaning xususiy yechimini topamiz. Buning
uchun Lagranjning ixtiyoriy o‘zgarmaslarni variatsiyalash metodidan
foydalanamiz. Xususiy yechimni
139
2
1
2
( )
( )(
1)
x
y
c x e
c x x
(15)
ko‘rinishda izlaymiz. (15) ni (12) tenglamaga qo‘yamiz. Buning uchun kerakli
hosilalarni hisoblashimiz lozim.
1
( )
c x
va
2
( )
c x
funksiyalar uchun
2
1
2
( )
( )(
1)
0
x
c x e
c x x
(16)
shart
qo‘yib,
2
1
2
( )2
( ) 1
x
y
c x
e
c x
hosilani
topamiz.
Bundan
2
2
1
2
1
( )2
( )
( )4
x
x
y
c x
e
c x
c x
e
ni hisoblaymiz va yuqoridagilarni (12)
tenglamaga qo‘yib, soddalashtirishlarni bajarib, ushbu
2
2
1
2
2(2
1)
( )
(2
1)
( )
4
x
x
x
e c x
x
c x
xe
(17)
tenglikka kelamiz. Endi (16) va (17) tenglamalardan
1
( )
c x
va
2
( )
c x
larni
topamiz:
2
1
2
2
2
4 (
1)
4
( )
,
( )
(2
1)
(2
1)
x
x x
xe
c x
c x
x
x
.
Zarur integrallashlarni bajarib,
1
( )
c x
va
2
( )
c x
larni aniqlaymiz:
1
2
2
4 (
1)
1
1
( )
1
2(2
1)
(2
1)
(2
1)
(
)
x x
c x
dx
dx
x
x
x
x
,
2
2
2
2
4
( )
2
(2
1)
(
1)
x
t
xe
t
c x
dx
t
x
e dt
x
t
2
2
1
1
1
1
1
1
(
1)
(
1)
(
)
t
t
t
t
t
e dt
e dt
e dt
e d
t
t
t
t
1
1
( )
1
1
1
1
1
(
)
t
t
t
t
t
e
e
e
dt
e d
dt
d e
t
t
t
t
t
2
1
1
2
t
x
e
e
t
x
.
Bularni (15) ga qo‘yib, (12) ning xususiy yechimni topamiz:
2
2
2
2
1
1
(
1)
1
2(2
1)
2
2
(
)
x
x
x
x
e
y
x
e
x
xe
e
x
x
.
Bu xususiy yechimga mos bir jinsli tenglama (13) ning
2
2
/
x
e
yechimini
qo‘shib, (12) ning yana xususiy yechimini hosil qilamiz:
2
x
y
xe
Shunday qilib, berilgan (12) tenglamaning umumiy yechimi
2
2
1
2
(
1)
x
x
y
xe
c e
c
x
formula bilan beriladi.
140
Masalalar
Berilgan funksiyalar ularning umumiy aniqlanish oralig‘ida chiziqli
erklilimi (
1
-
8
)?:
1.
1
2
( )
,
( )
1
y x
x y x
x
.
2.
1
2
3
( )
2,
( )
,
( )
1
y x
x
y x
x y x
x
.
3.
2
2
1
2
3
( )
1,
( )
2
1,
( )
2
3
y x
x
x
y x
x
y x
x
.
4.
1
2
3
( )
cos ,
( )
cos(
1),
( )
cos(
2)
y x
x y x
x
y x
x
.
5.
3
1
2
3
( )
ln(
) ,
( )
ln 2
1,
( )
3
y x
x
y x
x
y x
.
6.
3
3
3
1
2
3
( )
,
( )
1,
( )
2
y x
x y x
x
y x
x
.
7.
1
2
3
( ) 1,
( )
arccos ,
( )
arcsin
y x
y x
x y x
x
.
8.
a)
3
3
1
2
( )
,
( )
y x
x
y x
x
(
;
)
x
oraliqda.
b)
3
3
1
2
( )
,
( )
y x
x
y x
x
(
;0)
x
oraliqda.
Berilgan funksiyalar qanoatlantiruvchi eng kichik tartibli chiziqli bir
jinsli differensial tenglamani tuzing. Bu tenglamani berilgan funksiyalar qaysi
oraliq(lar)da qanoatlantiradi (
9
-
16
)?
9.
2
1
2
,
1
y
x y
x
.
10.
1
2
,
1
y
x y
x
.
11.
1
2
2
,
1
x
y
e
y
x
.
12.
1
2
sin ,
sin 2
y
x y
x
.
13.
1
2
ln ,
y
x y
x
.
14.
2
1
2
3
,
,
y
x y
x y
x
.
15.
2
1
2
3
,
ln ,
y
x y
x y
x
.
16.
3
2
1
2
3
,
,
x
x
y
x
y
e
y
e
.
Mustaqil ish № 10 topshiriqlari:
I.
Quyidagi funksiyalarni chiziqli erklilikka tekshiring (barcha funksiyalar
aniqlangan oraliqda).
1
( )
y x
va
2
( )
y x
funksiyalar qanoatlantiruvchi eng kichik
tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamani tuzing. Bu tenglamani
1
( )
y x
va
2
( )
y x
funksiyalar qaysi oraliq(lar)da qanoatlantiradi?
1.
2
1
2
3
( )
,
( )
cos
,
( )
cos 2
y x
x
y x
x
y x
x
.
2.
1
2
3
( )
1,
( )
cos ,
( )
sin 2
y x
x
y x
x y x
x
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
