|
II.4. Noma’lum funksiya va uning hosilalariga nisbatan bir jinsli
tenglamalar.
Agar ushbu
( )
( , , ...,
)
0
n
F x y y
y
(18)
tenglamada ixtiyoriy
0
(yoki
0
) va biror
uchun
( )
( )
( ,
,
,...,
)
( , , ,...,
)
n
n
F x
y
y
y
F x y y
y
(19)
ayniyat (shart) bajarilsa, (18) tenglama
( )
, ,...,
n
y y
y
larga nisbatan bir jinsli
tenglama deyiladi. Bu tenglama
( )
( ) (
const)
y x
y x
almashtirishga
nisbatan invariant. Bunday tenglamani yechish uchun
y
z
y
deb, yangi
noma’lum
( )
z
z x
funksiyani kiritamiz.
Quyidagi hisoblashlarni bajaramiz:
2
3
( )
(
1)
,
(
)
(
),
(
3
), ...,
( , ,...,
).
n
n
y
yz
y
y z
yz
yz z
yz
y z
z
y
y z
zz
z
y
y
z z
z
Endi bu munosabatlarni (18)ga qo‘yib,
F
funksiyaning bir jinsli ekanligini
e’tiborga olsak (bu yerda
o‘rniga
y
noma’lum funksiya kelyapti), ushbu
2
(
1)
( ,1, ,
,..., ( , ,...,
))
0
n
y F x
z z
z
z z
z
tenglikka kelamiz. Oxirgi tenglikni
y
ga qisqartirib,
z
ga nisbatan (
1)
n
tartibli tenglamani hosil qilamiz. Agar hosil bo‘lgan tenglamaning ushbu
1
2
1
( , ,
,...,
)
n
z
x c c
c
118
yechimini topa olsak, bu yerda
z
ni
y
y
ga almashtirib
1
2
1
( , ,
,...,
)
n
y
x c c
c
y
tenglamaga ega bo‘lamiz.
Nihoyat, oxirgi tenglamadan
1
2
1
exp
( , ,
,...,
)
(
)
n
n
y
c
x c c
c
dx
yechimni hosil qilamiz. Bu yechim
0
n
с
bo‘lganda
0
y
yechimni o‘z ichiga
oladi, ya’ni yuqorida
0
bo‘lganda
y
ga qisqartirish bajarilganda yechim
yo‘qolmaydi.
Misol 6.
Ushbu
2
2
(
1)(
)
x
y
yy
xyy
tenglamani yeching.
Berilgan tenglamada
2
2
( , , ,
)
(
1)(
)
F x y y y
x
y
yy
xyy
.
Osongina tekshirib ko‘rish mumkinki, (19) bir jinslilik sharti
2
bilan
bajariladi. Shuning uchun
y
yz
(
( ))
z
z x
almashtirishni bajarib, berilgan
tenglamani birinchi tartibli tenglamaga keltirish mumkin. Ushbu
2
(
)
y
y z
z
tenglikka ko‘ra berilgan tenglama quyidagicha o‘zgaradi:
2
2
2
2
(
1)(
(
))
,
x
y z
yy z
z
xyyz
2
2
2
2
2
(
1)(
)
.
y x
z
z
z
xy z
Oxirgi tenglamani
2
2
(
1)
y
x
ga bo‘lib, ushbu
2
1
x
z
z
x
chiziqli tenglamani hosil qilamiz. Bundan
2
1
1
1
2
2
1
exp
exp
ln(
1)
2
1
1
(
)
(
)
c
x
z
c
dx
c
x
x
x
yechimni topamiz. Endi
y
yz
, ya’ni
1
2
1
c
y
y
x
ekanligidan
1
2
2
1
2
2
1
2
2
exp
exp
ln
1
1
1
(
)
(
)
c
c
y
c
dx
c
c
x
x
c x
x
x
izlangan yechimga ega bo‘lamiz.
119
II.5.
x
argumentga nisbatan ekvio‘lchamli tenglamalar.
Agar (18) tenglama uchun
1
( )
( )
(
, ,
,...,
)
( , , ,...,
)
n
n
n
F
x y
y
y
F x y y
y
const
0
shart o‘rinli bo‘lsa, bu differensial tenglama
x
argumentga nisbatan
ekvio‘lchamli tenglama
deyiladi. Bunday tenglama erkli o‘zgaruvchini
x
(
const
) almashtirishga nisbatan invariant. Haqiqatdan ham,
aytilgan almashtirishda
2
2
2
2
2
1
1
1
,
,
,
,
n
n
n
n
n
d
d
d
d
d
d
x
dx
d
dx
d
dx
d
,
( )
1
1
0
( , ,
,...,
)
, ,
,...,
, ,
,...,
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
dy
d y
dy
d y
F x y y
y
F
y
F
y
d
d
d
d
,
, ,
,...,
0
(
)
n
n
dy
d y
F
y
d
d
.
x
argumentga nisbatan ekvio‘lchamli tenglamada
x
o‘rniga
t
erkli
o‘zgaruvchini
t
x
e
(bunda
0;
x
agar
0
x
bo‘lsa,
t
x
e
deyish kerak)
formula bilan kiritib, va
y
noma’lum funksiyani
t
ning funksiyasi deb
hisoblab, tenglamani o‘sha tartibli avtonom tenglamaga (
y
ga nisbatan)
keltirish mumkin:
,
,
t
t
d
dt d
d
d
d
x
e
e
x
dx
dx dt
dt
dx
dt
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
(
)
(
)
t
d
d
d
d
d
d
d
d
d
x
x
x
x
e
dx
dx
dx
dt
dt
dx
dt
dx
dt
,
……………………………………………………………..
2
2
2
2
2
0
( , ,
,
,...)
, ,
,
...
1, ,
,
...
(
)
(
),
(
),
,
t
t
t
t
dy
d y
dy
F x y y y
F e y e
e
dt
dt
dt
dy d y
dy
F
y
dt
dt
dt
e
2
2
1, ,
,
...
0
(
)
,
dy d y
dy
F
y
dt
dt
dt
.
x
argumentga nisbatan ekvio‘lchamli tenglamaga misol sifatida ushbu
( )
1
(
1)
1
1
0
0
n
n
n
n
n
n
a x y
a
x
y
a xy
a y
Eyler tenglamasini keltirish mumkin; bu tenglama uchun
120
( )
( )
1
(
1)
1
1
0
1
( )
( , ,
,...,
)
(
, ,
,...,
) (
0).
n
n
n
n
n
n
n
n
n
F x y y
y
a x y
a
x
y
a xy
a y
F
x y
y
y
x
argumentga nisbatan ekvio‘lchamli bo‘lgan nochiziqli tenglamaga
misol sifatida
2
0
xy
y y
tenglamani
ko‘rsatish mumkin. Bu tenglama
uchun
2
( , , ,
)
F x y y y
xy
y y
,
1
2
2
2
1
1
2
1
(
, ,
,
)
(
)
( , ,
,
) (
1).
F
x y
y
y
x
y
y
y
xy
y y
F x y y y
Misol 7.
Ushbu
2
0
xy
y y
tenglamani yeching.
Berilgan tenglama
x
argumentga nisbatan ekvio‘lchamli bo‘lgani
uchun tenglamada
t
x
e
(
0
x
) almashtirish bajaramiz. Bunda
2
2
2
2
2
,
,
(
)
t
t
t
d y
dy
d y
d y
dy
x
e
e
e
dx
dt
dt
dx
dt
tengliklarni berilgan tenglamaga qo‘yib va
t
e
ga qisqartirib, ushbu
2
2
2
(
1)
0
d y
dy
y
dt
dt
avtonom tenglamaga kelamiz. Bu avtonom tenglamani yuqorida aytilgan usul
yordamida yechamiz. Ushbu
2
2
,
( );
dy
d y
d z
dz dy
dz
z z
z y
z
dt
dt
dy dt
dy
dt
almashtirishlarga ko‘ra
2
1
0
(
)
dz
z
y
dy
tenglamani hosil qilamiz. Bundan
0
z
, ya’ni
1
y
c
va
2
1 0
dz
y
dy
.
Oxirgi birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimi, ravshanki,
3
1
3
3
c
y
z
y
.
formula bilan beriladi. Demak,
dy
z
dt
belgilashga ko‘ra
121
3
1
3
3
c
dy
y
y
dt
.
Bu tenglamadan
2
3
1
3
3
dy
t
c
y
y
c
va
t
x
e
o‘zgaruvchiga qaytib, berilgan differensial tenglamaning ushbu
2
3
1
ln
3
3
dy
x
c
y
y
c
,
1
y
c
oshkormas ko‘rinishdagi yechimlarini hosil qilamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
