Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

III
.
4. 
Lagranj tenglamasi
deb ataluvchi ushbu
( )
( )
y
xf y
g y




(16) 
differensial tenglamani yechaylik; bu yerda ( ),
( )
f p
g p

biror oraliqda 
uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar.

Lagranj tenglamasi (16) da 
y
p
 
deb parametr kiritamiz. U holda
( )
( )
y
xf p
g p


(17)
munosabat hosil bo‘ladi. Endi 
x
ni 
p
ning funksiyasi sifatida topamiz. (17) ni 
differensiallab, 
dy
y dx
pdx



ekanligini hisobga olib topamiz:
( )
( )
( )
pdx
f p dx
xf
p dp
g p dp





, 

---

99 
( )
(
( )
( ))
dp
p
f p
xf
p
g p
dx





, 
( )
( )
(
( )
0)
( )
( )
dx
f
p
g p
x
p
f p
dp
p
f p
p
f p








(18)
Oxirgi tenglama 
( )
x
x p

noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli 
differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimi
( )
( )
x
A p c
B p


(19)
ko‘rinishda bo‘ladi; bunda ( ),
( )
А p B p
funksiyalar (18) dan topiladi, 
с

ixtiyoriy o‘zgarmas. Endi (19) ni (17) ga qo‘yib, 
y
ni 
p
ning funksiyasi 
sifatida topamiz:


( )
( )
( )
( ) ( ),
( )
( ) ( )
( )
y
A p c
B p
A p
A p
p
B p
B p
p
p








. (20)
(19) va (20) formulalar Lagranj tenglamasining bir parametrli yechimlar 
oilasini beradi. (18) tenglamani hosil qilishda 
( )
0
p
f p


deb faraz qilingan. 
Demak, biz 
( )
0
p
f p


tenglamaning 
(
1, 2,3 )
i
p
i

ildizlari orqali 
topiluvchi 
i
p
p

yechimlarini 
yo‘qotgan 
bo‘lishimiz 
mumkin. 
,
(
)
i
i
i
p
p
f p
p


ni (17) qo‘yib Lagranj tenglamasining yana ushbu 
(
) (
1, 2,3
)
i
i
y
p x
g p
i



(21) 
ko‘rinishdagi yechimlarini - to‘g‘ri chiziqlarni - topamiz. Ba’zi hollarda (21) 
yechimlar maxsus yechimlarni ifodalaydi. 

III
.
5. 
Lagranj tenglamasida ( )
f p
p

bo‘lgan holni qaraylik. Bu holda 
Klero tenglamasi
 
deb ataluvchi ushbu
( )
y
xy
g y




(22) 
differensial tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglamani yechish uchun ham 
y
p
 
deb parametr kiritamiz. U holda
( )
y
xp
g p


(23)
munosabat hosil bo‘ladi. Endi 
x
ni 
p
ning funksiyasi ko‘rinishidagi ifodasini 
topamiz. 
dy
y dx
pdx



va (23) tengliklardan
( )
pdx
pdx
xdp
g p dp




yoki (
( ))
0
x
g p dp



. (24).
Oxirgi (24) tenglama
0
dp

va
( )
0
x
g p



(25) 
tenglamalarga ajraladi. Ularning birinchisidan 
p
с

(
const
c

), va buni (23) 
ga qo‘yib, Klero tenglamasi (22) ning quyidagi bir parametrli yechimlar 
oilasini hosil qilamiz: 
( )
у сх g c


. (26)
(25) dagi ikkinchi tenglamadan 
x
ni 
p
parametrning funksiyasi sifatida 
topiladi:

---

100 
( )
x
g p

 
. (27)
(27) ni (22) ga qo‘yib, 
у
ni 
p
ning funksiyasi sifatida topamiz. Natijada Klero
tenglamasining yana bir yechimi (parametrik ko‘rinishdagi) topiladi: 
( )
( )
( ).
x
g p
y
pg p
g p

 



 


(28) 
Ko‘rsatish mumkinki, agar 
( )
g
p

ikkinchi tartibli hosila uzluksiz bo‘lsa 
va u nolga aylanmasa, u holda (28) yechim (26) yechimlarning o‘ramasidan 
iborat bo‘ladi. Shunday qilib, bu holda parametrik ko‘rinishda berilgan (28) 
yechim Klero tenglamasining maxsus yechimini beradi. 

Masalalar 
Tenglamalarni yeching. Maxsus yechimlarni toping (
1
- 
12
): 
1.
2
4
4
0
y
xy
y





. 
2.
3
0
y
xy
y



 
. 
3.
2
2
2
3
0
xy
yy
y
x






. 
4.
2
2
2
2
2
4
1 0
y y
xy
yy





 
. 
5.
2
2
0
y
xy
y
e



 

.
6.
2
(2 ln
)
0
xy
y
y





. 
7.
2
ln
2
0
y
y
y
x




 
. 
8.
2
4
sin 2
cos
0, | |
2
2
x
y
x
y
y
x




 

9.
2
0
1
y
xy
y
y

 
 


.
10.
3
2
2
3
0
y
y
y
x



  
.
11.
3
2
(
2
)
0
y y
xy
y





. 
12.
4
2
8 (2
)
0
y
y
y
xy





. 
Mustaqil ish № 7 topshiriqlari: 
I.
Berilgan differensial tenglamadan 
y

ni toping va uni yeching. Maxsus 
yechimlarni aniqlang. 
1.
 
2
2
0
yy
xy
y



 
. 
2.
 
2
2
0
xy
xy
y



 
. 
3.
 
2
2
2
(
1)
0
x
y
yy
y e




 
. 
4.
 
2
4
4
sin 2
0
y
y
x





. 
5.
 
3
0
y
y
xe
 

. 
6.
 
2
2
4
0
xy
yy
x





. 
7.
 
3
2
4
4
0
y y
xy
y



 
8.
 
3
2
(
1)
(
)
0
y
x
y
 
 

. 
9.
 
2
2
(2
)
(
)
0
y
x
y y
x
xy







. 
10.
 
2
(
)
0
yy
x
y y
x


 
 
. 
11.
 
2
(
1)
0
yy
xy
y
x




 
. 
12.
 
2
2
2
0
xy
yy
y





. 
13.
 
2
2
(1
) 1
y
y



. 
14.
 
2
2
0
y
yy
xy
x






. 
15.
 
3
2
2
2
0
x y
x yy
y





. 
16.
 
2
2
(
)
2
2
y
y
x y
y
xy






. 
17.
 
3
2
2
2
0
y
y
yy
y







. 
18.
 
2
2
4
5
0
y
xy
x
y




 
. 
19.
 
2
2
2
2
0
y
yy
x y





. 
20.
 
2
4
0
xy
yy
x



 
. 
21.
 
3
0
y
yy




. 
22.
 
2
2
2
(
1)
0
y
y
y
y






. 

---

101 
23.
 
3
2
2
2
0
y
yy
x y
x y







. 
24.
 
3
(
1)
0
y
y
x
e
  

. 
25.
 
2
(
1)(1
)
0
yy
x
y
  


. 
26.
 
3
2
(
2)
27(
2 )
0
y
y
x
 



. 
27.
 
2
3
4
(
1)
0
y
x y
 
 
. 
28.
 
3
2
(
1)
0
y
x
y
  

. 
29.
 
2
2
2
3
(1
)
4
4
0
x y
y
y





. 
30.
 
2
(
) 2
0
xy xy
y
y

  

. 
31.
 
3
3
(2
1)
0
y
y
x
e
 


. 
32.
 
2
2
2
(
1)
0
x
y
yy
y e




 
. 
33.
 
2
(
)
4
0
xy
y
x
 


. 
34.
 
2
2
(2
)
sin
0
y
y
y
y
x





. 
35.
 
2
2
4
0
y
y
y
 


. 
36.
 
2
2
(
2
)
0
y
xy
y




. 
37.
 
2
2
4
2
2
2
2
0
y
y y
x
x y






. 
38.
 
2
2
2
2
0
y
xy
xy
y






.