|
III
.
4.
Lagranj tenglamasi
deb ataluvchi ushbu
( )
( )
y
xf y
g y
(16)
differensial tenglamani yechaylik; bu yerda ( ),
( )
f p
g p
biror oraliqda
uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar.
Lagranj tenglamasi (16) da
y
p
deb parametr kiritamiz. U holda
( )
( )
y
xf p
g p
(17)
munosabat hosil bo‘ladi. Endi
x
ni
p
ning funksiyasi sifatida topamiz. (17) ni
differensiallab,
dy
y dx
pdx
ekanligini hisobga olib topamiz:
( )
( )
( )
pdx
f p dx
xf
p dp
g p dp
,
99
( )
(
( )
( ))
dp
p
f p
xf
p
g p
dx
,
( )
( )
(
( )
0)
( )
( )
dx
f
p
g p
x
p
f p
dp
p
f p
p
f p
(18)
Oxirgi tenglama
( )
x
x p
noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli
differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimi
( )
( )
x
A p c
B p
(19)
ko‘rinishda bo‘ladi; bunda ( ),
( )
А p B p
funksiyalar (18) dan topiladi,
с
ixtiyoriy o‘zgarmas. Endi (19) ni (17) ga qo‘yib,
y
ni
p
ning funksiyasi
sifatida topamiz:
( )
( )
( )
( ) ( ),
( )
( ) ( )
( )
y
A p c
B p
A p
A p
p
B p
B p
p
p
. (20)
(19) va (20) formulalar Lagranj tenglamasining bir parametrli yechimlar
oilasini beradi. (18) tenglamani hosil qilishda
( )
0
p
f p
deb faraz qilingan.
Demak, biz
( )
0
p
f p
tenglamaning
(
1, 2,3 )
i
p
i
ildizlari orqali
topiluvchi
i
p
p
yechimlarini
yo‘qotgan
bo‘lishimiz
mumkin.
,
(
)
i
i
i
p
p
f p
p
ni (17) qo‘yib Lagranj tenglamasining yana ushbu
(
) (
1, 2,3
)
i
i
y
p x
g p
i
(21)
ko‘rinishdagi yechimlarini - to‘g‘ri chiziqlarni - topamiz. Ba’zi hollarda (21)
yechimlar maxsus yechimlarni ifodalaydi.
III
.
5.
Lagranj tenglamasida ( )
f p
p
bo‘lgan holni qaraylik. Bu holda
Klero tenglamasi
deb ataluvchi ushbu
( )
y
xy
g y
(22)
differensial tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglamani yechish uchun ham
y
p
deb parametr kiritamiz. U holda
( )
y
xp
g p
(23)
munosabat hosil bo‘ladi. Endi
x
ni
p
ning funksiyasi ko‘rinishidagi ifodasini
topamiz.
dy
y dx
pdx
va (23) tengliklardan
( )
pdx
pdx
xdp
g p dp
yoki (
( ))
0
x
g p dp
. (24).
Oxirgi (24) tenglama
0
dp
va
( )
0
x
g p
(25)
tenglamalarga ajraladi. Ularning birinchisidan
p
с
(
const
c
), va buni (23)
ga qo‘yib, Klero tenglamasi (22) ning quyidagi bir parametrli yechimlar
oilasini hosil qilamiz:
( )
у сх g c
. (26)
(25) dagi ikkinchi tenglamadan
x
ni
p
parametrning funksiyasi sifatida
topiladi:
100
( )
x
g p
. (27)
(27) ni (22) ga qo‘yib,
у
ni
p
ning funksiyasi sifatida topamiz. Natijada Klero
tenglamasining yana bir yechimi (parametrik ko‘rinishdagi) topiladi:
( )
( )
( ).
x
g p
y
pg p
g p
(28)
Ko‘rsatish mumkinki, agar
( )
g
p
ikkinchi tartibli hosila uzluksiz bo‘lsa
va u nolga aylanmasa, u holda (28) yechim (26) yechimlarning o‘ramasidan
iborat bo‘ladi. Shunday qilib, bu holda parametrik ko‘rinishda berilgan (28)
yechim Klero tenglamasining maxsus yechimini beradi.
Masalalar
Tenglamalarni yeching. Maxsus yechimlarni toping (
1
-
12
):
1.
2
4
4
0
y
xy
y
.
2.
3
0
y
xy
y
.
3.
2
2
2
3
0
xy
yy
y
x
.
4.
2
2
2
2
2
4
1 0
y y
xy
yy
.
5.
2
2
0
y
xy
y
e
.
6.
2
(2 ln
)
0
xy
y
y
.
7.
2
ln
2
0
y
y
y
x
.
8.
2
4
sin 2
cos
0, | |
2
2
x
y
x
y
y
x
9.
2
0
1
y
xy
y
y
.
10.
3
2
2
3
0
y
y
y
x
.
11.
3
2
(
2
)
0
y y
xy
y
.
12.
4
2
8 (2
)
0
y
y
y
xy
.
Mustaqil ish № 7 topshiriqlari:
I.
Berilgan differensial tenglamadan
y
ni toping va uni yeching. Maxsus
yechimlarni aniqlang.
1.
2
2
0
yy
xy
y
.
2.
2
2
0
xy
xy
y
.
3.
2
2
2
(
1)
0
x
y
yy
y e
.
4.
2
4
4
sin 2
0
y
y
x
.
5.
3
0
y
y
xe
.
6.
2
2
4
0
xy
yy
x
.
7.
3
2
4
4
0
y y
xy
y
8.
3
2
(
1)
(
)
0
y
x
y
.
9.
2
2
(2
)
(
)
0
y
x
y y
x
xy
.
10.
2
(
)
0
yy
x
y y
x
.
11.
2
(
1)
0
yy
xy
y
x
.
12.
2
2
2
0
xy
yy
y
.
13.
2
2
(1
) 1
y
y
.
14.
2
2
0
y
yy
xy
x
.
15.
3
2
2
2
0
x y
x yy
y
.
16.
2
2
(
)
2
2
y
y
x y
y
xy
.
17.
3
2
2
2
0
y
y
yy
y
.
18.
2
2
4
5
0
y
xy
x
y
.
19.
2
2
2
2
0
y
yy
x y
.
20.
2
4
0
xy
yy
x
.
21.
3
0
y
yy
.
22.
2
2
2
(
1)
0
y
y
y
y
.
101
23.
3
2
2
2
0
y
yy
x y
x y
.
24.
3
(
1)
0
y
y
x
e
.
25.
2
(
1)(1
)
0
yy
x
y
.
26.
3
2
(
2)
27(
2 )
0
y
y
x
.
27.
2
3
4
(
1)
0
y
x y
.
28.
3
2
(
1)
0
y
x
y
.
29.
2
2
2
3
(1
)
4
4
0
x y
y
y
.
30.
2
(
) 2
0
xy xy
y
y
.
31.
3
3
(2
1)
0
y
y
x
e
.
32.
2
2
2
(
1)
0
x
y
yy
y e
.
33.
2
(
)
4
0
xy
y
x
.
34.
2
2
(2
)
sin
0
y
y
y
y
x
.
35.
2
2
4
0
y
y
y
.
36.
2
2
(
2
)
0
y
xy
y
.
37.
2
2
4
2
2
2
2
0
y
y y
x
x y
.
38.
2
2
2
2
0
y
xy
xy
y
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
