Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

39.
 
2
(cos
2
)
y
x
xy y





2
cos
0
xy
x


. 
40.
 
2
4
(
)
0
xy
y
y
 


II.
Quyidagi differensial tenglamalarni parametr kiritish metodi 
yordamida yeching. Maxsus yechimlarni toping. 
1.
 
3
2
5
2
5
x
y
xy
y




. 
2.
 
2
2
1
xy
y
y



 
. 
3.
 
3
3
(1
)
0
y
x
y





(
)
y
tx
 
. 
4.
 
3
3
3
0 (
)
y
y
yy
y
y t







. 
5.
 
3
2
2
y
x y
xy




. 
6.
 
2
ln
y
xy
y




. 
7.
 
1
2
y
xy
y




. 
8.
 
(1
cos
)
y
y
y
y





. 
9.
 
2
1
y
xy
y




. 
10.
 
4
4
2
0
y
y
yy





. 
11.
 
2
2
1
,
(
)
(
)
xyy
x y
y
p
xp
 



 


12.
 
2
2
1 (
cos ,
sin )
y
y
y
t y
t






. 
13.
 
3
2
2
(1
)
x
y
a



. 
14.
 
2
exp(1
)
/
xy
y



. 
15.
 
2
1
y
x
y
y




. 
16.
 
2
(
)
y
y
x x
y





. 
17.
 
2
2
2
x
y
y





. 
18.
 
3
2
y
xyy
y




. 
19.
 
3
ln
y
xy
y




. 
20.
 
5
sin
y
xy
y




. 
21.
 
sin
x
y
y


 
. 
22.
 
3
2
y
y
xy
e




.
23.
 
(
5) exp( )
y
y
y




. 
24.
 
2
1
y
xy
y




. 
25.
 
2
y
xy
y




. 
26.
 
2
1
y
xy
y




. 

---

102 
27.
 
2
1
xy
y
x
y


 

. 
28.
 
2
2
y
y
xy


 
. 
29.
 
cos
x
y
y


 
. 
30.
 
2
2
2
xy
y
y
x




. 
31.
 
cos
x
y
y



. 
32.
 
3
2
2
1 0
x y
x yy



 
. 
33.
 
(1
) 1
y
y
y

 

. 
34.
 
2
2
y
xy
y




. 
35.
 
2
2
(
) 1
y
y
xy




. 
36.
 
2
arcsin
ln(1
)
y
y
y





. 
37.
 
2
3
2
0
y
y
y





. 
38.
 
ln
sin
x
y
y




. 
39.
 
2
2
7
7
7
7
1 (
cos ,
sin )
y
y
y
t y
t







.
 
40.
 
2
2
3
3
3
3
1 (
cos
,
sin )
y
y
y
t y
p
t





 
 
 
 
8. BIRINCHI TARTIBLI ARALASH DIFFERENSIAL 
TENGLAMALAR 
Maqsad 
– differensial tenglamalarning qaysi sinfga taaluqli ekanligini 
aniqlash va uni yechish ko‘nikmalarini mustahkamlash. 
Yordamchi ma’lumotlar 
Birinchi tartibli differensial tenglamalarning quyidagi sinflariga tegishli 
bo‘lgan tenglamalarni yechish usullari bilan tanishdik:
O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar:
( ) ( )
( ) ( )
0
M x N y dx
P x Q y dy


(1) 
( ) ( )
y
f x g y
 
(2)
Bunday tenglamalarni o‘zgaruvchilarni ajratib yechishni o‘rgandik. 
O‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriluvchi tenglamalar: 
(
)
(
0)
y
f ax by
c
b
 



. (3) 
Bu yerda 
( )
y
y x

noma’lum funksiya o‘rniga yangi 
( )
u
u x

noma’lum 
funksiyaga 
u
ax by
c



formula bilan o‘tib, uni yechish mumkin. 
O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli differensial tenglamalar: 
 
y
y
g
x
 
 
yoki
(
)
x
y
g
y
 
. (4) 
Bu tenglamani 
,
( ),
y
xu u
u x


belgilash yordamida o‘zgaruvchilari 
ajraladigan tenglamaga olib kelib yechish mumkin. 
Bir jinsli tenglama almashtirishidan foydalanib yechiladigan tengla-
malar:
( )
( )
y
y
y
g
h x
x
x
  
. (5) 

---

103 
Bu tenglamani ham
,
( ),
y
xu u
u x


almashtirish yordamida
( ) ( )
xu
g u h x
 
o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltirib yechish mumkin.
Bir jinsli tenglamaga keltiriluvchi tenglamalar: 
ushbu 
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
( , , ,
,
,
const)
a x
b y
c
y
g
a b c a b c
a x
b y
c




 







(6) 
ko‘rinishdagi tenglama, agar
1 2
2 1
0
a b
a b


bo‘lsa, bir jinsli tenglamaga 
keltiriladi.
Umumlashgan bir jinsli tenglamalar. 
Ba’zi tenglamalarni 
y
z


yoki 
y
z

 
almashtirish yordamida bir jinsli 
tenglamaga keltirish mumkin bo‘ladi. Bunday tenglamalar 
umumlashgan bir 
jinsli tenglamalar 
ded ataladi.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama 
ushbu 
( )
( )
y
p x y
q x
 

yoki ( )
( )
( )
a x y
b x y
c x
 

(7) 
ko‘rinishga ega. Bunday tenglamalarni Eyler-Bernulli, Lagranj, integrallovchi 
ko‘paytuvchi usullari bilan yechishni o‘rgandik.
Bernulli tenglamasi:
( )
( )
(
const
1)
m
y
p x y
q x y
m
 



. (8) 
Bu tenglamani Eyler-Bernulli usuli yoki 
1
1
/
m
u
y


almashtirish yordamida 
yechish mumkin. 
To‘la differensialli tenglama: 
( , )
( , )
0
М х у dx N x y dy


, (9) 
bunda 
( , )
( , )
( , )
М х у dx N x y dy du x y


, ko‘rinishga ega. Uning yechimi 
( , )
u x y
c

formula bilan oshkormas ko‘rinishda aniqlanadi. 
Integrallovchi ko‘paytuvchi.
Ba’zi tenglamalarni integrallovchi ko‘paytuvchiga ko‘paytirib yechish 
mumkin. 
Rikkati tenglamasi
2
( )
( )
( )
y
p x y
q x y
r x
 


(10) 
ko‘rinishga ega. Umumiy holda bu tenglama kvadraturalarda yechilmaydi. 
Agar Rikkati tenglamasining biror (xususiy) yechimi 
1
( )
y
y x

topilgan bo‘lsa, 
1
( )
y
u
y x
 
almashtirish yordamida bu tenglama 
( )
u
u x

noma’lum 
funksiyaga nisbatan Bernulli tenglamasiga keltiriladi. 
Ushbu
( ,
)
y
f x y


(
y
ga nisbatan yechilgan) 
va

---

104 
( ,
)
x
f y y


(
x
ga nisbatan yechilgan) 
ko‘rinishdagi differensial tenglamalarning yechimini 
p
y


parametr kiritish 
yordamida parametrik ko‘rinishda topish mumkin.
Xususan, Lagranj (
( )
( )
y
xf y
g y




) va Klero (
( )
y
xy
g y




) 
tenglamalarining yechimlari ham 
p
y


parametr yordamida ifodalanishi 
mumkin. 
Berilgan birinchi tartibli differensial tenglamani yuqorida sanab o‘tilgan 
sinflarning qaysi biriga mansub ekanligini aniqlash va uni ma’lum algoritmga 
ko‘ra yechish kerak. Agar berilgan tenglama bu sinflarning birortasiga ham 
tegishli bo‘lmasa, u yoki bu almashtirishni bajarib, uni “yechiladigan” 
ko‘rinishga olib kelish va yechish kerak. 
Ba’zan berilgan bitta tenglamalarni turli usullar bilan yechish mumkin 
bo‘ladi. 
Misol 1.
0
xdy
ydx


tenglamani yeching. 

1-
usul. 
Tenglamani 
2
1
x


integrallovchi ko‘paytruvchiga 
ko‘paytirib yechamiz: 
2
0 ,
0 ,
xdy
ydx
y
y
d
c
x
x
x




. 
Bunda 
0
x

yechim yo‘qoldi. 
2-
usul. Tenglamani 
1
xy


integrallovchi ko‘paytruvchiga ko‘paytirib, 
o‘zgaruvchilarni ajratib yechish: 
1
0 ,
0 ,
ln | |
ln | |
0 , ln
,
(
)
xdy
ydx
dy
dx
y
d
y
x
c
y
cx
x
xy
y
x








. 
0
x
 
yo‘qolgan yechim. 
3-
usul. Tenglamani chiziqli tenglamaga keltirib yechish ham mumkin: 
1
0
dy
y
dx
x


, … . 

Ba’zan kerakli (muvaffaqiyatli) shakl almashtirishlar yordamida tenglamani 
osongina yechiladigan ko‘rinishga keltirish va uni yechish mumkin. 
Misol 2.
Tenglamani yeching. 
2
2
(
2
)
(
2
)
x
x
y dx
x
x y dy




. 

Tenglamada quyidagicha shakl almashtirishni bajaraylik: 
2
2
(
2 )
2
0
x
x dx
ydx
xdy
x ydy





. 
Agar chap tomondagi 2- va 3- hadlarni guruhlasak, nisbatning differensialiga 
“o‘xshash” ifodani ko‘ramiz. Boshqa hadlarning ko‘rinishidan kelib chiqib, 

---

105 
tenglamani 
2
x
ga (
2
y
ga emas!) bo‘lamiz, ya’ni 
2
1
/
x


ga ko‘paytiramiz: 
 
2
2
1
2
0
ydx
xdy
dx
ydy
x
x





. 
Endi bu yog‘i tushunarli: 
2
2
ln
(
)
0
(
)
)
(
y
d x
x
d
d y
x




,
2
2
ln
0
(
)
y
d x
x
y
x

 

. 
Demak, yechim
2
2
ln
y
x
x
y
c
x

 

oshkormas ko‘rinishda ifodalanadi.

Ba’zi tenglamalarni yechish uchun noma’lum funksiya va uning 
argumentini almashtirish kerak bo‘ladi.
Misol 3. 
Tenglamani yeching 
3
2
2
3
ydx
xdy
y
x
y dy



. 

Tenglamani
 
2
1
/
y


ga ko‘paytirib, quyidagi shakl 
almashtirishlarni bajaramiz va yechimni topamiz (
0
y

deb hisoblaymiz): 
2
2
2
3
ydx
xdy
y x
y dy
y



, 
2
2
3
x
d
y x
y dy
y


,
2
2
3
1
x
x
d
y
dy
y
y
 


 
 
, 
x
u
y

deymiz, 
2
2
3
1
du
y dy
u


, 


3
arcsh
(
)
d
u
d y

, 
3
arcsh
u
y
c


, 
3
arcsh
x
y
c
y


. 
