Оддий дифференциал тенгламалар хакида айрим маълумотлар

§7. Бернулли тенгламаси.

Ушбу
(7.1)

кўрнишдаги тенгламага Бернулли тенгламаси дейилади. Бу ерда
a(x), b(x)C(a,b); nR
Агар (7.1) тенгламада n=0 булса, у холда

чизикли тенглама хосил булади.
Агар n=1булса , у холда

бир жинсли чизикли тенгламага эга буламиз.
Кейинчалик n 0, n 1 деб фараз киламиз. У холда (7.1) ДТнинг умумий ечимини топиш учун тенгламанинг иккала тарафини y - га буламиз, у холда (7.1) тенглама ушбу
(7.3)
кўринишга келади. Бу ерда
(7.4)
алмаштиришни бажарамиз. (7.4) дан
(7.5)
топамиз. (7.3) - (7.5) тенгликлардан

ёки
(7.6)
Бу эса чизикли дифференциал тенгламадир. (7.6) нинг умумий ечимини топиб (7.4) алмаштириш ёрдамида берилган Бернулли тенгламасининг умумий ечимини топамиз.
§ 8. Риккати тенгламаси.
Ушбу
(8.1)
кўринишдаги дифференциал тенгламага Риккати тенгламаси дейилади, бу ерда a(x), b(x), c(x)C(a,b), (a-, b) булиб а(х)0, с(х)0.
Агар (8.1) дифференциал тенгламада a(x)=0 булса, у холда (8.1) тенглама чизикли дифференциал тенгламага айланади.
Агар (8.1) да c(x)=0 булса, у холда (8.1) - дифференциал тенглама Бернулли тенгламасига айланади.
Умумий холда, Риккати тенгламаси квадратурада интегралланмайди.
Лемма - 8.1. Риккати тенгламаси :
1. ва
2. каср - чизикли

алмаштиришларга нисбатан куринишини узгартирмайди.
Исбот. Ушбу тенгликнинг иккала тарафини дифференциаллаб
ва
тенгликларни топамиз. Бу топилганларни (8.1) га кўйиб

ёки
(8.2)
хосил киламиз. Бу ерда

белгилашларни киритсак (8.2) тенглама

кўринишни олади. Бу эса Риккати тенгламасининг узидир.
2. Берилган каср - чизикли алмаштиришнинг иккала тарафини дифференциаллаб
( 8.3)
топамиз. Каср - чизикли алмаштириш натижасида

квадрат учхаднинг узгаришини топамиз:
(8.4)
(8.3) , (8.4) ва (8.1) тенгликлардан

топамиз. Бу тенглик элементар амаллар натижасида, куйидаги куринишни олади.

ёки

бу эса Риккати тенгламасини ифодалайди. Лемма исбот булди.
Лемма - 8.2.
Риккати тенгламаси
(8.5)
алмаштиришлар ёрдамида
(8.6)
каноник кўринишга келтирилади.
Исбот. (8.5) дан (8.6)
топамиз. (8.5) ва (8.6) ларни (8.1) - тенгламага куйиб

ёки
(8.7)
топамиз. Бу ерда

деб танланса, у холда

бўлиб, (8.7) тенглама
(8.8)
кўринишни олади. Охирги тенгламада

алмаштиришни бажариб

ёки
(8.9)
топамиз. Охирги тенгликда олдидаги коэффицентни нольга тенглаштирсак

ёки

топамиз. Натижада (8.9) тенглама

кўринишни олади. Лемма исбот булди.
Теорема - 8.1.
Агар Риккати тенгламасининг битта хусусий ечими маълум булса, у холда Риккати тенгламасининг барча ечимлари иккита квадратура ёрдамида топилади.
Исбот.
Фараз килайлик y=y’(x) функция (1)- тенгламанинг хусусий ечими бўлсин. У холда

алмаштириш натижасида (1) тенглама :

(8.11)
теорема шартига кура

бўлгани учун (8.11) дан
(8.12)
топамиз. Бу эса Бернулли тенгламасидир, унинг ечими иккита квадратура ердамида топилади, чунки (8.12) тенглама

алмаштириш ердамида чизикли дифференциал тенгламага келтирилади. Шундай килиб
(8.13)
алмаштириш натижасида Риккати тенгламаси чизикли дифференциал тенгламага келтирилади.
Теорема - 8.2.
Агар Риккати тенгламасининг иккита хусусий ечими маълум булса, у холда унинг умумий ечими битта квадратура ёрдамида топилади.
Исбот.
функциялар (1) дифференциал тенгламанинг хусусий ечимлари булсин. У холда, (8.12) ни

алмаштириш ёрдамида
(8.14)
чизикли тенгламага келтирамиз. (8.13) га асосан, (8.14) нинг битта хусусий ечими
(8.14)
бўлади. Бу холда (8.14) - чизикли тенгламанинг ечими битта квадратура ёрдамида топилади.
Мисол.
Ушбу

тенгламанинг умумий ечимини топинг. Бу ерда y =x - функция берилган тенгламанинг хусусий ечими булгани учун :

алмаштириш натижасида берилган тенглама

чизикли тенгламага келтирилади. Чизикли тенгламанинг умумий ечими

формула оркали топилади. Берилган тенгламанинг ечими эса

формула ердамида топилади.
Теорема - 3.
Агар Риккати тенгламасининг учта хусусий ечими маълум булса, у холда унинг умумий ечими квадратурасиз топилади.
Исбот.
, ва функциялар (1) дифференциал тенгламанинг хусусий ечимлари булсин. У холда (8.14) чизикли дифференциал тенглама иккита
ва
хусусий ечимларга эга булади. Шунинг учун чизикли тенгламанинг умумий ечими квадратурасиз
(8.15)
кўринишда топилади. (8.13) ва (8.15) ларни тенглаштириб

тенгликнги хосил киламиз ва ундан С нинг кийматини

(8.16)
топамиз. Бу эса Риккати тенгламасининг умумий интегралидир.
Натижа.
Риккати тенгламасининг тўртта
, , ,
хусусий ечимлари маълум бўлса, у холда

айният ўринли булади.
Теорема - 4.
Риккати тенгламасининг умумий ечими, ихтиёрий ўзгармас С сонининг
каср - чизикли алмаштиришидан иборат булади.
Исбот.
(8.14) чизикли тенгламанинг умумий ечими
(8.17)
кўринишга эга булганлигидан (8.13) - ни

ёки

бу ерда


кўринишда ёзамиз. (8.18) тенглик ёрдамида аникланган y(х) функция С нинг каср - чизикли функциясини ифодалайди.