Оддий дифференциал тенгламалар хакида айрим маълумотлар

§1.Оддий дифференциал тенгламалар
хакида айрим маълумотлар.

Фараз килайлик I=(a,b) интервалда аникланган n марта узлуксиз дифференциалланувчи y=y(x), xI функция берилган булсин.

Таъриф-1. Эркли узгарувчи х, номаълум функция у(х) ва хосилалари у’(х),..., у(n)- орасидаги ушбу
F(x,y,y’,...,y(n)) = 0 (1.1)
функционал богланишга оддий дифференциал тенглама(ОДТ) дейилади.
ОДТ таркибида катнашаётган номаълум функция хосиласининг юкори тартибига-ОДТ нинг тартиби дейилади. (1.1) тенглама n-тартбли оддий дефференциал тенгламанинг умумий куриниши .
ОДТ лар икки хил куринишда : - нисбатан ечилмаган ёки ечилган бўлиши мумкин. (1.1) кўринишдаги - хосилага нисбатан ечилмаган n-тартибли ДТ нинг умумий кўриниши. Биринчи тартибли у’(x) хосилага нисбатан ечилмаган ОДТ нинг умумий кўриниши:
F(x,y,y’) = 0 (1.2)
Агар (1.2) тенгламани
у’=(х,у) (1.3)
кўринишда ёзиш мумкин булса, у холда (1.3) га у’(x) хосилага нисбатан ечилган 1-тартибли ОДТ дейилади. Бундай куринишдаги тенгламага 1-тартибли ОДТ нинг нормал кўриниши дейилади.
Агар (1.3) тенгламанинг унг тарафидаги (х,у) функция у га нисбатан чизикли булса, у холда (1.3) тенгламага 1- тартибли чизикли ОДТ дейилади ва у куйдаги куринишда ёзилади:
у’=р(х)у+q(x) (1.4)
бу ерда р(х) ва q(х)- [ а , b) = I да аниклаган ва узликсиз функциялар.
Таъриф-2. (1.3) кўринишдаги ОДТ берилган булиб, унда (х,у) функция текисликнинг бирор - сохасида аникланган булсин . Агар I=(а , b) да аникланган у=(х) функция учун куйидаги шартлар:
1. (х, (х) )G , xI=(a , b)
2. - узликсиз дифференциалларнувчи функция, xI
 ’(х) = (х, (х)) , xI
бажарилса, у холда у = (х) функцияга I = (a , b) ораликда (1.3) ДТнинг ечими дейилади.
(1.3) дифференциал тенгламанинг хар бир у = (х) ечимига мос келувчи эгри чизикга, шу ДТ нинг интеграл эгри чизиги дейилади. Баъзи холларда (1.3) ДТ нинг ечими
Ф(х,у,с) = 0 (1.5)
ошкормас кўринишда бўлса, айрим холларда х = х(t) , y = y(t) ;
t0 < t < t1 , х’(t)0 параметрик куринишда булиши хам мумкин.
Умуман олганда (1.3) куринишдаги ДТ у = у(х,с) , с = Сonst - ечимнинг таркибида битта узгармас сон катнашади.
Таъриф - 3. (1.3) ДТ ва у = (х,с) - чизиклар оиласи берилган булсин. Агар:
 (х,с) - функция I = (a,b) да х буйича узликсиз хосилага эга
булса;
2) Хар бир (х,у)G нукта учун у = (х,с) муносабат с нинг кийматини бир кийматли с = (х,у) аникласа ;
3) у = (х, (х,у)) - функция (1.3) тенгламанинг ечими булса, у холда