Ўзгармас коэффициентли бир жинсли бўлмаган чизиқли тенгламалар

Мавзу: Умумий ечим ҳақида теорема. Ўзгармасни вариациялаш методи. Коши формуласи. Ўзгармас коэффициентли чизиқли оддий дифференциал тенгламалар, Эйлер тенгламаси.
Асосий саволлар.
1. Умумий ечим ҳақида теорема.
2. Ўзгармасни вариациялаш методи.
3. Ўзгармас коэффициентли чизиқли оддий дифференциал тенгламалар.
Мавзуга оид таянч тушунча ва иборалар:

Ўзгармас коэффициентли бир жинсли дифференциал тенгламалар, характеристик тенглама, ўзгармас коэффициентли бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламалар, умумий ечим, хусусий ечим, ўзгармасни вариациялаш усули, Эйлер тенгламаси, Острогардский-Лиувилл формуласи, Вронский детерминанти, Грин функцияси.

1. 
   Ўзгармас коэффициентли бир жинсли бўлмаган чизиқли тенгламалар.
   

Ушбу тенглама берилган бўлсин:
(3.7)
Бу тенгламани номаълум коэффициентлар усулида ечишни кўриб чиқамиз. Аввало (3.7) тенгламага мос бир жинсли

тенгламани I бандда кўрсатилган усулда ечиб, умумий ечимини топиб оламиз. Сўнгра хусусий ечимини қидирамиз. Агар тенгламанинг ўнг томонини махсус кўринишга эга бўлса, у ҳолда (3.7) тенгламанинг хусусий ечимини номаълум коэффициентлар усулида топиш мумкин. Баъзи ҳолларни кўриб чиқамиз:
а) кўринишда бўлса ва агар (3.7) тенгламани характеристик тенгламасини ечими бўлмаса ,
у ҳолда хусусий ечим
(3.8)
кўринишда қидирилади, агар характеристик тенгламанинг каррали илдизи бўлса
(3.9)
кўринишда қидирилади,. Бунда - номаълум ўзгармас сонлар . (3.8) ёки (3.9) кўпхадни номаълум коэффициентларини топиш учун уларнинг ифодаларини (3.7) тенгламага қўйиб, тенгликни ҳар иккала томонидаги щхшаш хадларнинг коэффициентларини тенглаш лозим. Булардан ҳосил бўлган алгебраик тенгламалар системасини ечиб, номаълум коэффициентлар топилади. Сўнгра мос ҳолда (3.8) ёки (3.9) ифодаларга қўйиб хусусий ечимнинг кўриниши аниқланади.
(3.7) тенгламанинг умумий ечимини эса кўринишда ифодаланади. Бу ерда - (3.7) тенгламага мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечими.
б) кўринишда бўлса, хусусий ечимни
(3.10)
кўринишда қидирилади. Бунда бўлиб, ва - номаълум коэффициентли -тартибли кўпхадлар. Бу кўпхадларнинг коэффициентларини топиш учун (3.10) ни (3.7) га қўйиб, юқоридаги каби мос хадларнинг коэффициентларини тенглаштирилади.
Бунда агар характеристик тенгламани илдизи бўлмаса , агар характеристик тенгламани илдизи бўлса, у ҳолда - илдизнинг карралиси эканлигини билдиради.
Эслатма. Агар (3.7) тенгламанинг ўнг томонидан функция турли кўринишдаги бир нечта функцияларнинг йиғиндисидан иборат бўлса, у ҳолда тенглама ўнг томондаги функцияларга алоҳида-алоҳида тенглаб олинади ва ҳар бири ечилади. Умумий кўринишдаги хусусий ечим ҳар бир тенглама хусусий ечимлари йиғиндиси сифатида олинади.