Ўзгармас коэффициентли бир жинсли бўлмаган чизиқли тенгламалар

1-асосий савол бўйича дарснинг мақсади:
n-тартибли чизиқли дифференциал тенглама тушунчасини, бу тушунча мазмунини етказиш, тенгламани ечиш усуллари ҳақида тушунча бериш.


Индентив ўқув мақсадлари:

1. 
   Ўзгармас коэффициентли бир жинсли дифференциал тенгламани ечиш усулларини тушунтира олади.
   
2. 
   Ўзгармас коэффициентли бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламаларни еча олади.
   
3. 
   Эйлер тенгламаси тушунтириб бера олади.
   
4. 
   Острогардский-Лиувилл формуласи
   

1-асосий савол баёни

2. 
   Ўзгармас коэффициентли бир жинсли дифференциал тенгламалар.
   

Ушбу

(3.1)
тенгламани ечиш учун алмаштириш ёрдамида
(3.2)
характеристик тенглама ҳосил қилинади ва уни ечиб илдизлари топилади.
Тенгламанинг умумий ечимини ёзиш учун қуйидаги ҳолларни қараймиз:

1. 
   -ҳақиқий ва ҳар хил. У ҳолда (3.1) тенгламани
   

умумий ечими
(3.3)
кўринишда ёзилади.

2. 
   илдизлар ҳақиқий ва ичида карралиси бор бўлсин. Фараз
   

қилайлик илдиз каррали бўлиб, қолган та илдиз ҳар хил бўлсин. Бу ҳолда (3.1) тенгламанинг умумий ечими
(3.4)
кўринишда ифодаланади.

3. 
   илдизлар ичида комплекс ечимлар ҳам бор бўлсин.
   

Аниқлик учун бўлиб қолганлари ҳақиқий сонлар деб олайлик. У ҳолда умумий ечим
(3.5)
кўринишда бўлади.
Бу ерда кўринишдаги формуладан фойдаланилади.

4. 
   комплекс илдизлар ичида карралиси ҳам бўлсин.
   

Масалан, каррали , у ҳолда илдиз ҳам каррали бўлади, унга мос умумий ечим
(3.6)
кўринишда ифодаланади.