Оддий дифференциал тенгламалар хакида айрим маълумотлар

Исбот (Етарлилиги). Г соханинг хар бир нуктасида (11.5) бажарилсин. У холда (11.1) нинг тулик дифференциал тенглама эканини исботлаймиз. Бунинг учун (11.3) ни каноатлантирувчи U(x,y) функцияни топамиз.
(11.7)
(11.7) ни у-узгарувчи буйича дифференциаллаб
(11.8)
Бу ерда -функцияни куйидагича танласак
(11.9)
у холда (11.8) дан

хосил киламиз. Энди (11.9) ни каноантлантирувчи бирорта -функцияни топамиз.
(11.10)
(11.10)ни (11.7) га куйиб

хосил киламиз. Теорема тулик исбот килинди.


§ 12.Итенгралловчи купайтувчи.
Фараз килайлик, ушбу
(12.1)
тенглама тулик дифференциалли тенглама булмасин, яъни сохада аникланган бирорта хам функция учун
(12.2)
тенглик ўринли булмасин.
Таъриф-1.
Агар сохада берилган ва бирор функциялар учун, ушбу
(12.3)
тенглама тулик дифференциалли булса, у холда (12.1) га тулик дифференциалли тенгламага келтириладиган тенглама, функцияга эса унинг интегралловчи купайтувчиси дейилади. У холда

булади. Бундан
(12.4)
топамиз.
Теорема-12.1
Агар , , булиб, , функция интервалда аникланган хамда (12.3) тенгламанинг ечими булса, у холда функция (12.1) тенгламанинг хам шу интервалда аникланган ечими булади.
Исбот.
Шартга кура функция (12.3)нинг ечими булгани учун, ушбу
, (12.5)
уринли. Бу тенгликда ни эътиборга олсак (12.5) да
,
келиб чикади. Бу эса уз навбатида -ни (12.1)-дифференциал тенгламанинг ечими эканини курсатади.
Энди интегралловчи купайтувчининг айрим хоссалари билан танишамиз. (12.3) тенглама тулик дифференциалли булсин, яъни функция (12.1) нинг интеграловчи купайтувчиси булсин, у холда (12.4) дан
(12.6)
топамиз, чунки

(12.6) ни куйдагича ёзиш мумкин.

ёки
(12.7)
бу ерда десак
(12.7)
муносабатга келамиз. Бу муносабат функцияга нисбатан биринчи тартибли бир жинсли булмаган дифференциал тенгламадир. Биз учун (12.7) нинг бирор хусусий ечимини топиш етарлидир. Бундай ечим нуктанинг етарли кичик атрофида функциялар узлуксиз булгани учун доим мавжуд.
Теорема-12.2.
Агар (12.1) дифференциал тенглама умумий интегралга эга булса, у холда (12.1) тенглама учун интеграловчи купайтувчи мавжуд булади.
Исбот .
Теорема шартига асосан
(12.8)
(12.1) тенгламанинг умумий интеграли булгани учун (12.8) дан
(12.8)
бу ерда

десак (12.8) дан
(12.8)
келиб чикади. Иккинчи томондан, (12.1) тенгламага асосан


(12.8)
(12.8) ва (12.8) тенгликлардан

бундан ёки .


,
тенгламалар ёрдамида сохада аникланган функцияни киритиш мумкин. Энди

муносабатлардан функция (12.1) дифференциал тенглама учун интегралловчи купайтувчи экани келиб чикади.
Энди интегралловчи купайтувчини топиш билан шугилланамиз. (12.7) дан куринадики ни топиш учун (12.5) хусусий хосилали дифференциал тенгламани хусусий ечимини топиш керак, бу масала уз навбатида куйилган масалага нисбатан, анча огиррок масаладир. Айрим холларда
интегралловчи купайтувчини топиш учун (12.7) ёки (12.7) лардан файдаланса булади.
Теорема-12.3.
Агар мавжуд булиб,
(12.9)
булса, У холда
(12.10)
булади.
Исбот.
(12.7) нинг ечимини куринишда излаймиз. У холда

тенгликдан
(12.11)
топамиз. (12.7) тенгламани куйдагича ёзамиз.

бу ерда (12.11) ни эътиборга олсак охрги тенглама ушбу

куринишга келади. Бундан эса
(12.12)
топамиз . Бу ерда (12.9) дан фойдаланиб

узгарувчилар ажраладиган тенгламани хосил киламиз. Бу тенгламани интеграллаб

интегралловчи купайтувчини топамиз. Бизга бирорта интегралловчи купайтувчи керак, шунинг учун с=1 деб танлаш биз учун етарлидир:

теорема исбот булди.
Мисол-1. Чизикли бир жинсли булмаган
(12.13)
тенгламанинг интегралловчи купайтувчисини топамиз. Интегралловчи купайтувчини

куринишда излаймиз. Берилган (12.13) тенгламани куйдаги симметрик куринишда ёзамиз:

бундан

топамиз. Бу ерда

чунки булгани учун (12.10) дан

эканлиги келиб чикади. Буларни этиборга олсак

топамиз. (12.10) дан, эса

интегралловчи купайтувчини топамиз.


Мисол-2. Узгарувчилари ажраладиган
(12.14)
тенгламанинг интегралловчи купайтувчисини топамиз. Бунинг учун (12.14) тенгламанинг иккала тарафини, ушбу функцияга
(12.14)
кўпайтириб


(12.14)
тенгламани хосил киламиз. Бу ерда

булгани учун

булиб (11.5) шарт бажарилади. Шунинг учун (12.14) тулик дифференциалли тенгламадир. (12.14) ёрдамида аникланган -функция, уз навбатида (12.14) тенгламанинг интегралловчи купайтувчисидир.
Мисол-3. Бир жинсли
(12.15)
бу ерда ва функциялар m-даражали бир жинсли функциялардир, дифференциал тенгламанинг интегралловчи купайтувчисини топамиз. Бунинг учун

алмаштиришни бажариб, (12.15) ни

ёки

бу эса узгарувчилари ажраладиган дифференциал тенгламадир, унинг интегралловчи купайтувчиси
(12.15)
Бу ерда , агар

булса, у холда (12.15) да эски х ва у узгарувчиларга утиб
(12.15)
топамиз.
Агар

булса, у холда берилган бир жинсли тенглама

куринишдаги узгарувчилари ажраладиган тенгламага келтирилади.
Теорема-12.4
Агар 0 (12.1) тенгламанинг интегалловчи купайтувчиси булиб, унинг интеграли булса, у холда
(12.16)
функция хам (12.1) нинг интегралловчи купайтувчиси булади. Бу ерда - ихтиерий узликсиз дифференциалланувчи функция.
Исбот.
(12.1) нинг чап тарафини (12.16) га купайтирамиз
(12.16)
Бундан (12.16) ердамида аникланган - функция (12.1) нинг интегралловчи купайтувчиси экани келиб чикади.