Оддий дифференциал тенгламалар хакида айрим маълумотлар

§ 9. Риккати тенгламасининг махсус куриниши.
Ушбу
(9.1)
тенгнлама Риккати тенгламасининг махсус кўриниши дейилади. Бу ерда А , В ва m ўзгармас сонлар. Бу m сонининг кандай кийматларида (9.1) тенгламанинг умумий ечими элементар функцияларда топилиши мумкинлигини ўрганамиз.
Аввало энг содда холларни караймиз :
1. m=0. Бу холда (9.1) тенглама
(9.2)
куринишга келади. (9.2) дан куринадики

бундан эса (9.2) нинг умумий ечими элементар функцияларда ифодаланиши келиб чикади.
2. m=-2. Бу холда (9.1) тенглама
(9.3)
куринишга келади. Ушбу

алмаштиришдан фойдалансак (9.3) тенглама
(9.3)
кўринишни олади. Бу эса бир жинсли тенгламадир:

алмаштириш натижасида (9.3) ўзгарувчилари ажраладиган

тенгламага келтирилади. Бундан кўринадики (9.3) нинг умумий ечими элементар функциялар оркали ифодаланади.
3. Агар

бутун сон бўлса, (9.1) тенглама квадратурада интегралланади.


§ 10. Риккати ва иккинчи тартибли чизикли дифференциал тенгламалар орасидаги богланиш.
1. Риккати
(10.1)
тенгламаси
, (10.2)
алмаштириш натижасида
(10.3)



ёки
(10.4)

кўринишга келади .Охирги тенгламада

(10.5)
алмаштиришни бажарамиз.
(10.6)

(10.4) - (10.6) - лардан

(10.7)

Бу эса иккинчи тартибли чизикли дифференциал тенгламадир.

2. Кўп холларда, айникса тадбикий характерга эга булган масалаларда иккинчи тартибли чизикли дифференциал тенгламанинг айрим ечимларини топиш учун, уни Риккати тенгламасига келтирилади.
Ушбу
(10.8)
чизикли дифференциал тенгламада
(10.9)
алмаштиришни бажариб
(10.9)
(10.8) дан

топиб (10.9) га куйиб
(10.10)
топамиз. У эса - га нисбатан Риккати тенгламасидир.