|
Мисол 2. Ушбу
Коши масаласини ечинг.
тенгламанинг берилишидан кўринадики у(х)=0 функция хам берилган Коши масаласининг ечими булади. Демак берилган Коши масаласи иккита ечимга эга булар экан, чунки бу ерда функция у=0 нуктанинг атрофида Липщиц шартини каноатлантирмайди. Шунинг учун хам ечимнинг ягоналиги бузилади.
Мисол 3. Ушбу
Коши масаласининг тенгсизликни каноатлантирувчи барча - ларда камида иккита ечими ва булганда битта ечими борлигини кўрсатинг.
Мисол 4. Ушбу
Коши масаласи нинг кандай кийматларида ягона ечимга эга булади.
Теореманинг Исботи (Мавжудлиги).
(13.1) дифференциал тенгламани dy=f(x,y)dx куринишда ёзиб, уни интервал бўйича интеграллаймиз
хосил булган тенгликда (13.2) бошлангич шартдан фойдаланиб
(13.6)
топамиз. Бу ифода у(х) - функцияга нисбатан интеграл тенгламадир. Шундай килиб, агар у(х) - функция (13.1) + (13.2) Коши масаласининг ечими бўлса, у холда у(х) - функция (13.6) интеграл тенгламанинг хам ечими бўлар экан. Аксинча, агар у=у(х) функция (13.6) интеграл тенгламанинг ечими бўлса, у холда у(х) - (13.1) + (13.2) Коши масаласининг хам ечими бўлишини кўрсатиш мумкин. Хакикатан хам: у(х) (13.6) ни каноатлантирсин, у холда f(x,y(x)) - функция Р - сохада узликсиз бўлгани учун
мавжуд бўлиб
бўлади. (13.6) нинг иккала томонини дифференциаллаб
топамиз. (13.2) - бошлангич шартнинг бажарилиши (13.6) дан кўриниб турибди, хакикатдан хам
шундай килиб (13.1)+(13.2) Коши масаласи (13.6)-интеграл тенгламага эквивалент экан. Демак (13.1)+(13.2) Коши масаласи ечимининг мавжудлиги (13.6) интеграл тенглама ечими мавжудлик масаласига келтирилди.
(13.6) интеграл тенглама ечими мавжудлигини кетма-кет якинлашиш усули ёрдамида курсатамиз.
,
,
,
………………………… (13.7)
,
…………………………
формулалар ёрдамида - функционал кетма-кетликни тузиб оламиз. Бу ердаги функцияларнинг хар бири (13.2) бошлангич шартни каноатлантиради.
Энди, ушбу
, ,…, ,…
айирмаларни бахолаймиз.
. (13.7)
Бундан кўринадики, агар х-лар
тенгсизликни каноатлантирса, у холда (13.7) дан
келиб чикади. Бу эса функциянинг графиги - ларда Р тўгри тўртбурчакдан чикиб кетмаслигини кўрсатади.
Худди шунингдек
Бу тенгсизликдан кўриниб турибдики, , - функциянинг графиги хам Р тўгри тўртбурчакдан чикиб кетмаслиги келиб чикади. Шундай килиб тенгсизлик бажарилса, - функционал кетам-кетикларнинг графиклари, яъни
Р тўгри тўртбурчакда жойлашар экан.
Энди - функциолнал кетма-кетликнинг да лимити мавжудлигини кўрсатамиз.
Бунинг учун, ушбу
(13.8)
функционал каторни тузиб оламиз. Бу каторнинг n-хусусий йигиндисини хисоблаймиз:
.
Демак -функционал кетма -кетликнинг якинлашиш масаласи (13.8) - функционал каторнинг якинлашиш масаласига келтирилди. Буни кўрсатиш учун
айирмаларни бахолаш зарур. Бу айирмаларни кетма-кет бахолаймиз:
(13.8)
(13.8)
(13.8)
Худди шунингдек n=k - учун
(13.8 )
тугри деб n=k+1 -учун
(13.8 )
тенгсизликни исботлаймиз.
(13.8 )
Ушбу
тенгсизликнинг бажарилган сабабли
(13.9)
уринли булади.
(13.8) функционал каторнинг якинлашишни текширишдан аввал, ушбу
(13.9)
сонли каторнинг якинлашишини текширамиз. Сонли катор якинлашишининг Даламбер белгисига асосан:
, ,
(13.9) сонли катор якинлашувчидир. (13.8) функционал катор К.Вейериштрас теоремасига асосан - интервалда текис якинлашувчи булади.
Шундай килиб
(13.9)
лимитик функция (х)- мавжуд булиб, у курсатилган -интервалида узликсиз функцияни ифодалайди, чунки (13.8) катор текис якинлашувчи (13.9) ёрдамида аникланган (х) лимитик функция (13.2) бошлангич шартни каноатлантиради:
(13.10)
Энди (13.9) ёрдамида аникланган у=(х) функция (13.6) интеграл тенгламани каноатлантиришни курсатамиз. Бунинг учун, ушбу
интеграл белгиси остида да лимитга утиш мумкинлигини курсатиш кифоя:
(13.11)
функционал кетма-кетлик да (х) - функцияга текис якинлашувчи булгани учун ва f(x,y) функциянинг у - узгарувчи буйича Р тугри туртбурчакда текис узликсиз булганлигидан:
- учун топилиб
тенгсизликни каноатлантирувчи
нукталар учун
тенгсизлик бажарилади. (13.3)-Липщиц шартига асосан
, (13.11)
бу ерда
,
булади.
нинг текис якинлашувчилигидан эса, -сон учун - номер мавжуд булиб, тенгсизлигини каноатлантирувчи барча n - номерлар учун
(13.11)
тенгсизлик бажарилади. Бу тенгсизликларга асосан (13.11) тенгсизликни куйидагича ёзамиз:
Демак
тенгсизлик уринли булади. Бу ерда -сонининг ихтиёрийлигини хисобга олсак.
(13.12)
келиб чикади. Энди, ушбу
тенгсизлик да лимитга утамиз:
Демак у=(х) функция (13.6) итеграл тенгламанинг ечимидан иборат экан. Бу интеграл тенглама (13.1)+(13.2) Коши масаласига эквивалент булгани учун у=(х) функция берилган Коши масаласининг ечими булади, яъни
Шундай килиб теоремада ечимнинг мавжудлик кисми исботланди. Энди ечимнинг ягоналигини курсатамиз.
Do'stlaringiz bilan baham: |
