Оддий дифференциал тенгламалар хакида айрим маълумотлар

§ 13. Коши масаласи ечимининг мавжудлиги ва ягоналиги.

Хосилага нисбатан ечилган

(13.1)
дифференциал тенгламанинг
(13.2)
бошлангич шартни каноатлантирувчи у=у(х) ечимини топиш масаласига Коши масаласи дейилади.
Теорема - 13.1 (Коши).
Агар (13.1) тенгламада функция

тугри туртбурчакда аникланган ва узликсиз булиб, бу тугри туртбурчакда у - узгарувчи буйича Липщиц шартини каноатлантирса, яъни нукталар учун шундай узгармас N= Const сони мавжуд булиб
(13.3)
булса, у холда (13.1) + (13.2) Коши масаласининг ушбу

(13.4)
- интервалда аникланган ва (13.2) бошлангич шартни каноатлантирувчи - ягона ечими мавжуд.
Эслатма.
Агар f(x,y) функция Р - соханинг хар бир нуктасида

хусусий хосилага эга булиб,

шартни каноатлантирса, у холда бу функция Липшиц шартини каноатлантиради.
Хакикатан хам нукталар учун Лагранж теоремасига асосан

бу ерда

бундан, уз навбатида (13.3) тенгсизлик келиб чикади.
Лекин, баъзи холларда хосилага эга булмаган функциялар хам (13.3) тенгсизликни каноатлантиради.
Масалан. Ушбу

функция у=0 нуктада, яъни (х,0) нукталарда хосилага эга эмас, лекин

бу ерда Липшиц узгармаси N=1 булади.
Мисол. Ушбу
(13.5)
Коши масаласининг ечими топилсин.

(13.5)
бу ерда у(1)=0 бошлангич шартдан фойдаланиб, яъни
у(1)=0 c=-1
топамиз. Умумий ечимнинг (13.5) кўринишдан берилган

Коши масаласининг ечими топилади.
Иккинчи томондан

функция хам (13.5) - Коши масаласининг ечими булади. Бундан кўринадики берилган (13.5) дифференциал тенгламанинг унг тарафидаги
(13.5)
функция Коши теоремасидаги (13.3) - Липшиц шартини каноатлантирмайди, чунки
.
Шунинг учун хам, берилган Коши масаласининг ечими ягона эмас.
(13.5) функциянинг Липщиц шартини каноатлантирмаслигини - хосилани хисобламасдан хам кўрсатиш мумкин. Бунинг учун тескаридан фараз киламиз, яъни (13.5) функция (13.3) Липщиц шартини каноатлантирсин:

бу ерда деб
ёки
топамиз. Охирги тенгсизликдан, - жуда кичик сон булса карама - каршиликга келамиз. Бу эса фаразимизнинг нотугрилигини беради.