§ Аппроксимация хатолиги

§ 5. Аппроксимация хатолиги.
Дифференциал масаланинг асосий тенгламасини ва қўшимча шартларини аппроксимация қилувчи айирмали тенгламалар системаси айирмали схемалар дейилади.
Айирмали схеманинг аппроксимация хатолиги, турғунлиги, яқинлашиши ва аниқлиги айирмали схемалар назариясининг асосий тушунчаларидир.
Айирмали схемалар назариясининг асосий масаласи - айирмали схеманинг аниқлиги унинг аппроксимация хатолиги, яқинлашиши ва турғунлигини ўрганишга олиб келади.
- аниқланиш соҳалари мос ҳолда ва , қийматлар соҳалари мос ҳолда ва бўлган операторлар бўлсин. Бундан кейин операторларни мос ҳолда дифферениал ва айирмали операторлар деб атаймиз.
Айирмали оператор дифференциал операторни тартиб билан аппроксимация қилади дейилади, агарда шундай мусбат ва доимийлари мавжуд бўлсаки, барча лар учун қуйидаги тенгсизлик ўринли бўлса
.
оператор операторни нуқтада чи тартиб билан аппроксимация қилади дейилади, агарда шундай ва доимийлари мавжуд бўлиб, барча лар учун

тенгсизлик ўринли бўлса.
Қуйидаги
, , ,
, , (3.1)
дифференциал масала берилган бўлсин.
, , ,
, (3.2)
айирмали схемалар оиласини қарайлик. Бу айирмали масалалар тўпламини келгусида айирмали схемалар, айирмали масалалар ечимлари тўпламини айирмали схемалар ечими деб атаймиз.
(3.2) айирмали схема берилган (3.1) дифференциал масалани чи тартиб билан аппроксимация қилади дейилади, агарда шундай , ва мусбат доимийлари мавжуд бўлсаки, барча лар учун
,
,

тенгсизликлар ўринли бўлса,
тўр функция айирмали аппроксимация хатолиги дейилади. Берилган (3.1) дифференциал масала ва (3.2) айирмали масалалар ечимлари айирмаси (3.2) айирмали схеманинг хатолиги дейилади.
1-мисол.
айирмали оператор операторни нуқтада бўйича иккинчи тартиб билан аппроксимация қилишини кўрсатиш мумкин. Бунинг учун иккинчи тартибли айирмали ҳосиладаги ва ларни Тейлор қаторига ёйсак

эканлиги тасдиқланади.