§ Аппроксимация хатолиги

§ 7. Турғунлик.
Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларни дикретлаштиришда ҳосил бўладиган алгебраик тенгламалар системасини ечишда тугун нуқтадаги хатоликни билан белгилаймиз.
(3.20)
(3.20) да лар мос холда алгебраик тенгламалар системасининг аниқ ва тақрибий ечимларидир.
Дискретлаштиришда ҳосил бўладиган чизиқли алгебраик тенгламалар системасининг хатоликлари ҳам худди шу чизиқли алгебраик тенгламалар системасини қаноатлантиради. Масалан, (3.9) ошкор айирмали схемадан фойдалансак, юқоридаги фикримиз
(3.21)
тенгламани қаноатлантиришини англатади.
Агар алгебраик тенгламалар системасини аниқ ечими ҳам (3.9) тенгламани қаноатлантиришини эсласак ва (3.21), тенгламага (3.20) ни ҳисобга олсак хатоликка нисбатан қуйидаги бир жинсли алгебраик тенгламага эга бўламиз:
(3.22)
Агар бошланғич ва чегаравий шартлар берилган деб фараз қилсак, у ҳолда барча бошланғич хатоликлар , шунингдек чегаравий хатоликлар ва лар (3.20) тенгликка асосан нолга тенг бўлади.
Айирмали схемалар турғунлигини таҳлил қилувчи матрицали усул ва Нейман усуллари энг кўп қўлланиладиган усуллардир. Ушбу усуллар асосида ҳисоблаш алгоритмининг ҳақиқий ечими ва тақрибий ечими ўртасидаги фарқ ёки хатоликни ўсиши ёки камайишини башорат қилиш ётади.
Мисол. тенгламага қўйилган Коши масаласини апроксимация қилувчи

айирмали схеманинг турғунлигини текширинг.
Ечиш. Дастлаб схемани кўринишда ёзиб оламиз ва қуйидаги нормаларни аниқлаймиз:
, . Агар бўлса

бўлади. Демак
.
Ҳосил бўлган

,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

тенгсизликларни қўшиб, тенгсизликни ҳосил қиламиз.