О ‘ zbekiston respublikasi oliy va о ‘ rta maxsus ta ’ lim vazirligi

 
2.1.Ikkinchi tartibli determinantlar. 
 
Ta’rif 1.
Berilgan to’rtta 
22
21
12
11
,
,
,
a
a
a
a
sonlardan tuzilgan
21
12
22
11
a
a
a
a

ifoda(son) 
ikkinchi tartibli determinant
deb ataladi va u quyidagi ko’rinishda 
yoziladi:
21
12
22
11
22
21
12
11
a
a
a
a
а
а
а
а


 
(2.1) 
22
21
12
11
,
,
,
a
a
a
a
sonlar determinantning 
elementlari
deb ataladi. 
Ikkinchi tartibli determinantlar ikkita gorizantal va ikkita vertikal 
qatorlarga ega. Gorizantal qatorlarni 
satrlar
, vertikal qatorlarni 
ustunlar 
deb 
ataymiz. Satrlar yuqoridan pastga qarab, ustunlar esa chapdan o’ngga qarab 
sanaladi. Determinant elementlarini indeksidagi birinchi raqam satr tartibini, 
ikkinchi raqam esa ustunni belgilaydi. Masalan, 

21
a
ikkinchi satr birinchi ustun 
elementi. 

22
11
,
a
a
ikkinchi tartibli detirminantning 
bosh diagonalini, 

21
12
,
a
a
uning 
yon (yordamchi) diagonalini 
tashkil etadi. Shunday qilib, (2.1 
formulaga ko’ra) ikkinchi tartibli determinantni hisoblash uchun bosh diagonal 
elementlari ko’paytmasidan yon diagonal elementlari ko’paytmasini ayirish 
lozim ekan. 
1-misol.
2
6
4
2
3
4
1
4
2
3
1








. 
2-misol.
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
2
2
2
2
2
2
2
2
4
6
2
2
6
6
2
2







. 
3-misol.
1
cos
sin
)
cos
(
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
2
2



















.
 

---

10 
2.2. Uchinchi tartibli determinantlar. 
 
Ta’rif 2. 
Ushbu
 
to’qqizta

33
32
31
23
22
21
13
12
11
,
,
,
,
,
,
,
,
a
a
a
a
a
a
a
a
a
elementning 
uchtadan 
ko’paytmalarini 
quyidagi 
tartibdagi 
yig’indisi 
23
32
11
33
12
21
13
22
31
31
23
12
13
32
21
33
22
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a







yordamida 
aniqlanadigan son 
uchinchi tartibli determinant 
deyiladi va 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а


kabi belgilanadi. Bu yerdagi 
33
12
11
,...,
,
a
a
a
sonlar ma‘lum sonlar. 
Uchinchi tartibli determinant uchta satr, uchta ustun va to’qqizta 
elementlarga ega. Bu determinantni 1-tar’ifdan foydalanib,quyidagicha 
yozishimiz ham mumkin: 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а


=
32
31
22
21
13
33
31
23
21
12
33
32
23
22
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a





(2.2) 
Determinantning har bir elementi ikki xonali indeksga ega bo’lib ulardan 
birinchisi shu element turgan satrning nomerini, ikkinchisi shu element turgan 
ustunning nomerini bildiradi. Masalan 
а
32
element uchinchi satr va ikkinchi 
ustunda turadi. 
33
12
11
,
,
a
a
a
elementlar uchinchi tartibli determinantning bosh 
diagonalini, 
31
22
13
,
,
a
a
a
uning 
yon diagonalini 
tashkil etadi. 
 
2.3. Minor va algabraik to’ldiruvchi. 
Determinantni biror elementining 
minori
deb, determinantdan bu element 
turgan satr va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan determinantga aytiladi. 
ik
a
(i,k=1,2,3) elementning minori 
М
ik
kabi belgilanadi. Uchinchi tartibli 
determinant elementlarining minorlari ikkinchi tartibli determinantlar bo’ladi. 
Masalan:
 
Δ=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
Determinant 
12
a
elementining minori 
М
12
=
33
31
23
21
а
а
а
а
 
son,
М
23
=
32
31
12
11
а
а
а
а
 
son esa 
23
a
elementining minori bo’ladi. Chunki 
М
12 
ni topish uchun ∆ 
determinantning birinchi satri va ikkinchi ustuni, 
М
23
ni topish uchun esa shu 
23
a
element turgan determinantning ikkinchi satri va uchinchi ustuni o’chiriladi. 

---

11 
ik
k
i
ik
M
A



)
1
(
(i,k=1,2,3) son 
ik
a
elementning 
algebraik to’ldiruvchisi
deb ataladi. Masalan Δ determinantning 
32
a
elementining algebraik
to’ldiruvchisi 
23
11
21
13
23
21
13
11
32
2
3
32
)
1
(
a
a
a
a
a
a
a
a
M
A







bo’ladi. 
 
2.4. Determenantning asosiy xossalari. 
Quyida barcha tartibli determinantlar uchun o’rinli bo’lgan xossalarini 
uchunchi tartibli determinant uchun keltiramiz. 
1.
 
Determinantning satrlarini unga mos ustunlar bilan almashtirish 
natijasida determinantning qiymati o’zgarmaydi, ya‘ni
 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
= 
33
23
13
32
22
12
31
21
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
 
2.
 
Determinantning 
ikkita 
satr(yoki 
utsun)larini 
o’rinlarini 
almashtirish natijasida determinantning ishorasi o’zgaradi xolos,
ya‘ni 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
= -
32
33
31
22
23
21
12
13
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
Bu yerda berilgan determinantning ikkinchi va uchinchi ustunlari o’rin 
almashgan. 
3.
 
Ikkita bir xil satr (yoki ustun)ga ega bo’lgan determinant 0 ga 
tengdir. 
4.
 
Determinantning biror satr (yoki ustun) elementlarini biror 

 songa 
ko’paytirish determenantni shu songa ko’paytirishga teng kuchlidir:
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а



=

33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
Determinantning bu xossasiga asoslanib 3-xossani biroz kuchaytirish 
mumkin. Ya‘ni ikkita proporsional satr (yoki ustun) larga ega bo’lgan 
determinant nolga tengdir. 
5.
 
Biror satr (yoki ustun)elementlari nollardan iborat determenant 
nolga tengdir. 
6.
 
Determinantning biror satr (yoki ustun) elementlarini biror songa 
ko’paytirib boshqa bir satr (yoki ustun) ning mos elementlariga qo’shib,ularni 
o’rniga yozish natijasida determinantning qiymati o’zgarmaydi, ya‘ni

---

12 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
=
33
33
32
31
23
23
22
21
13
13
12
11
а
m а
а
а
а
m а
а
а
а
m а
а
а



Bu yerda berilgan determinantning uchinchi ustun elementlari m songa 
ko’paytirilib ikkinchi ustinning mos elementlariga qo’shilib, ikkinchi satr 
elementlari o’rniga yozildi. 
7.
 
Determinantning biror satr(yoki ustun) elementlarini ularning 
algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shsak yig’indi determinantning 
o’ziga teng bo’ladi, ya‘ni:
Δ
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
determenant uchun
13
13
12
12
11
11
A
a
A
a
A
a




,
23
23
22
22
21
21
A
a
A
a
A
a




, 
33
33
32
32
31
31
A
a
A
a
A
a




,
31
31
21
21
11
11
A
a
A
a
A
a




, 
32
32
12
12
12
12
A
a
A
a
A
a




,
33
33
23
23
13
13
A
a
A
a
A
a




, 
tengliklar o’rinlidir.
Determinantning bunday yozilishi uning satr yoki ustun elementlari 
boyicha 
yoyilmasi
deyiladi. Masalan, keltirilgan tengliklardan birinchisi Δ 
determinantning birinchi satr elementlari boyicha yoyilmasini ifodalasa, oxirgisi 
uni uchinchi ustun elementlari boyicha yoyilmasini ifodalaydi. 
Biz yuqorida keltirgan uchinchi tartibli determinantning ta‘rifi uning 
birinchi satr elementlari boyicha yoyilmasi ekan. 
Izoh.
Hisoblashlarni osonlashtirish uchun,odatda determinantning qaysi 
qatorida nol ko’p bo’lsa, uni o’sha qator elementlari boyicha yoyish maqsadga 
muvofiq bo’ladi.