1-Ma’ruza: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Gauss usuli. Matritsa determinantini Gauss usuli bilan hisoblash. Teskari matritsani Gauss usuli bilan hisoblash. Iteratsiya usuli

1-Ma’ruza: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Gauss usuli. Matritsa determinantini Gauss usuli bilan hisoblash. Teskari matritsani Gauss usuli bilan hisoblash. Iteratsiya usuli
1.1. Chiziqli tenglamalar sistemalari haqida umumiy ma’lumotlar.
N ta noma’lumli t ta tenglamalar sistemasini qaraymiz:
(1)
a_tk koeffitsientning belgilanishidagi birinchi indeks teng­lama nomerini, ikkinchi indeks esa noma’lum nomerini bildiradi. Har bir noma’lum indeksli bitta x harfi bilan belgilangan bo‘lib, bu indeks noma’lumning nomerini bildiradn.
Agar chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo‘lsa, u birgalikda, agar yechimga ega bo‘lmasa, u birgalikdaemas deyiladi.
Birgalikda bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘lsa, u aniqlangan, agar cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘lsa, u aniqmas sistema deb ataladi.
Agar ikkita birgalikdagi tenglamalar sisgemasidan birining ha’ bir yechimi ikkinchisining yechimi va aksincha, ikkinchisiiing har bir yechimi birinchisining yechimi bo‘lsa, bu sistemalar teng kuchli sistemalar deb ataladi.
Quyidagi almashtirishlar tenglamalar sistemasini unga teng kuchli sistemaga o‘tkazishini isbotlash mumkin:

1. 
   istalgan ikkita tenglamaning o‘rinlarini almashtirish;
   
2. 
   tenglamalardan istalgan birining ikkala tomonini noldan farqli istalgan songa ko‘paytirish;
   
3. 
   sistema tenglamalaridan birining ikkala tomoniga boshqa bir tenglamaning istalgan haqiqiy songa ko‘paytirilgan mos qismini qo‘shish.
   

Bu almashtirishlarni ham matritsalarni elementar almashtirishlarga mos qilib, elementar almashtirishlar deb ataymiz.
Bir nechta shunday almashtirishlardan so‘ng sistemada barcha koeffitsientlari va ozod hadi nolga teng bo‘lgan tenglama hosil bo‘lishi mumkin. Bunday tenglamani noma’lumlarning istal­gan qymatlari qanoatlantirgani uchun uni tashlab yuborish mumkin. Bu holda biz berilgan sistemaga teng kuchli, lekin un­dan bitta kam tenglamaga ega bo‘lgan sistemani hosil qilamiz.
Agar elementar almashtirishlarni tatbiq qlinganidan so‘ng sistemada chap tomonining barcha koeffitsientlari nolga teng, ozod hadi esa noldan farqli tenglama hosil bo‘lsa, bu narsa noma’lumlarning hech qanday qiymatlari bu tenglamani qanoatlantirmasligini ko‘rsatadi va demak, hosil bo‘lgan sistema birgalikda emas. Binobarin, dastlabki sistema ham bir­galikda emas.
Aytaylik, bizga n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:


(2)
Bu chiziqli tenglamalar sistema noma’lumlarining koeffitsientlaridan
(3)
matritsani hamda ozod hadlari va noma’lumlaridan
(4)
matritsalarni tuzamiz. Bu matritsalar asosida chiziqli tenglamalar sistemasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz
A ^. X = B