Aniq integralning geometrik tadbiqlari

Matematikadan o’quv-uslubiy majmua Aniq integralning geometrik tadbiqlari

17-MAVZU. ANIQ INTEGRALNING
GEOMETRIK TADBIQLARI


Reja:

1. 
   Aniq integralning qo‘llanish sxemalari
   
2. 
   Tekis shakl yuzasini hisoblash
   
3. 
   Tekis egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
   
4. 
   Aylanish sirti yuzasini hosoblash
   
5. 
   Hajmlarni hisoblash
   

1. Aniq integralning qo‘llanish sxemalari
o‘garuvchi aniqlangan kesmaga bog‘liq biror geometrik yoki fizik kattalikning qiymatini (tekis shakl yuzasini, jism hajmini, kuchning bajargan ishini va hokazo) hisoblash talab qilingan bo‘lsin. Bunda kattalik additiv deb faraz qilinadi, ya’ni kesmaning nuqta bilan va qismlarga bo‘linishida kattalikning kesmaga mos qiymati uning va kesmalarga mos qiymatllarining yig‘indisiga teng qilib olinadi.
kattalikning qiymatini hisoblash ma’lum tartibda (sxema asosida) bajariladi. Bunda ikki sxemadan biriga amal qilish mumkin: sxema (integral yig‘indilar usuli) va sxema ( differensial usuli).
sxema aniq integralning ta’rifiga asoslanadi. Bunda:
kesma nuqtalar bilan ta kichik kesmalarga bo‘linadi. Bunda kattalik mos ta «elementar qo‘shiluvchilar» ga bo‘linadi: ;
Har bir «elementar qo‘shiluvchi» masalaning shartidan aniqlanuvchi funksiyaning mos kesma istalgan nuqtasida hisoblangan qiymati bilan kesmaning uzunligi ko‘paytmasi ko‘rinishiga keltiriladi:
ning taqribiy qiymatini topishda ayrim soddalashtirishlar qilish mumkin: kichik bo‘lakda yoyni uning chekkalarini tortib turuvchi vatar bilan almashtirish mumkin; kichik bo‘lakda o‘zgaruvchi tezlikni o‘zgarmas deyish mumkin va hokazo.
Bunda kattalikning taqribiy qiymati integral yig‘indidan iborat bo‘ladi:
.
kattalikning haqiqiy qiymati bu integral yig‘indining dagi (bunda ) limitiga teng bo‘ladi:

sxema sxemaning o‘zgargan ko‘rinishi hisoblanadi va «differensial usul» yoki «yuqori tartibli cheksiz kichiklarni tashlab yuborish usuli» deb ataladi. Bunda:
kesmada ixtiyoriy qiymatni tanlaymiz va o‘zgaruvchi kesmani qaraymiz. Bu kesmada kattalik ning funksiyasi bo‘ladi: ya’ni kattalikning bo‘lagi noma’lum funksiya bo‘ladi, bu yerda - kattalikning parametrlaridan biri;
ning kichik kattalikka o‘zgarishida orttirmaning bosh
qismini topamiz: bu yerda - o‘zgaruvchining masala
shartidan kelib chiquvchi funksiyasi (bunda mumkin bo‘lgan soddalashtirishlar qilinishi mumkin);
deb, ni dan gacha integrallash orqali ning izlanayotgan qiymati topiladi: