Aniq integralning geometrik tadbiqlari

Yuzani qutb koordinatalarida hisoblash
Qutb koordinatalar ( - qutb radiusi, - qutb burchagi) sistemasida berilgan funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsin.
funksiya grafigi hamda qutbdan chiqqan va nurlar bilan chegaralangan tekis shaklga egri chiziqli sektor deyiladi.
egri chiziqli sektor yuzasini hisoblaymiz. Bunda sxemadan foydalanamiz.
Izlanayotgan yuza burchakning funksiyasi bo‘lsin deymiz: bu yerda ( bo‘lganda bo‘lganda ).
Joriy qutb burchagi orttirma olganida yuza «elementar egri chuiiqli sektor» yuzasiga teng orttirma oladi.
Bunda differensial orttirmaning dagi orttirmasining bosh qismini ifodalaydi va radiusi ga, markaziy burchagi ga teng bo‘lgan doiraviy sektor yuzaasiga teng bo‘ladi (12-shakl).
Shu sababli



Oxirgi ifodani dan gacha integrallab izlanayotgan yuzani topamiz:
. (17.7)
Misol
egri chiziq bilan chegaralangan figuraning yuzasini hisoblaymiz (13-shakl). Bu figura uch yaproqli gul deyiladi. (17.7) formula bilan topamiz:

Bundan


3. Tekis egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
T ekislikda egri chiziq kesmada uzluksiz funksiya grafigi bilan berilgan bo‘lsin. egri chiziq uzunligini sxemadan foydalangan holda topamiz.
kesmada ixtiyoriy qiymatni tanlaymiz va o‘zgaruvchi kesmani qaraymiz. Bu kesmada kattalik ning funksiyasi bo‘ladi: va
ning kichik kattalikka o‘zgarishida differensialni topamiz: yoyni uni tortib turuvchi vatar bilan almashtiramiz (14-shakl) va ni topamiz:

Demak, yoki ekanidan
ni dan gacha integrallab, topamiz:
(17.8)
(17.8) tenglikka yoy differensialining to‘g‘ri burchakli koordinatalardagi formulasi deyiladi.
Agar egri chiziq tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yuqorida keltirilganlarni takrorlab, yoy uzunligini hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:
. (17.9)
Agar egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, (8) formulada o‘riniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchi almashtiriladi.
Bunda
(17.10)
kelib chiqadi, bu yerda va .
Egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida tenglama bilan berilgan bo‘lsin, bunda funksiyalar kesmada uzluksiz va nuqtalarga qutb koordinatalarida burchaklar mos keladi.
ekaninidan

(17.11) formulaga va hosilalarni qo‘yamiz va almashtirishlar bajarib, topamiz:
. (17.12)
Misollar
1.. yarim kubik parabolaning dan gacha yoyi uzunligini topamiz. Bunda dan kelib chiqadi.
U holda (8) formula bilan topamiz:

2. egri chiziq yoyining o‘q bilan kesishish nuqtalari orasidagi uzunligini hisoblaymiz. Buning uchun avval deb egri chiziqning oq bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz:
Hosilani topamiz:

Yoy uzunligini hisoblaymiz:


3. tenglama bilan berigan egri chiziq uzunligini topamiz. Berilgan tenglama astroidani ifodalaydi.
Astroidaning uzunligini (17.10) formula bilan topamiz:



4. kardioida uzunligini topamiz. Bunda egri chiziqning simmetrikligini hisobga olamiz. U holda