I s o Agar bo'Isa, bo'lishini isbot qilamiz

4- i s o 1. Agar bo'Isa, bo'lishini isbot qilamiz.

Isbot. bo'lsin.
a) ni ko'rsatamiz. bo'lsin. U holda yoki bo'ladi. Agar bo'lsa, ekanidan ekani kelib chiqadi, ikkala holda ham ning bar qanday elementi ning ham lementidir. Demak, ;
b) ni ko'rsatamiz. bo'lsin. U holda, to'plamlar birlashmasining ta'rifiga ko'ra bo'ladi. Demak, ning har qanday elementi ning ham elementi bo'ladi, ya'ni . Shunday qilib, . Bu esa ekanini tasdiqlaydi.To'plamlar ustida bajariladigan amallarning xossalari sonlar ustida bajariladigan amallarning xossalariga o'xshash. Har qanday to'plamlar uchun:

1. 
   ;
   1') ;
   
2. 
   ;
   2') ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   tengliklar bajariladi. Agar qaralayotgan to'plamlar ayni bir to'plamning qism-to'plamlari bo'lsa, U to'plam universal to'plam deyiladi.
   To'plam elementlarining soni bilan bog'Iiq ayrim masalalar.To'plamlar nazariyasining muhim qoidalaridan biri - jamlash qoidasidir. Bu qoida kesishmaydigan to'p-lamlar birlashmasidagi elementlar sonini topish imkonini beradi.