Aniqmas integralni o’zgaruvchini almashtirish bilan integrallash. Aniqmas integralni bo’laklab integrallash. Kvadrat uchhad qatnashgan integrallarni hisoblash

Aim.uz

Aniqmas integralni o’zgaruvchini almashtirish bilan integrallash. Aniqmas integralni bo’laklab integrallash. Kvadrat uchhad qatnashgan integrallarni hisoblash
Aniqmas integralni bevosita hisoblash mumkin bo’lmagan hollarda qo’llash mumkin bo’lgan usullardan biri o’zgaruvchini almashtirish usulidir. Bunda berilgan integraldagi o’zgaruvchidan yangi o’zgaruvchiga biror funksiya orqali o’tiladi. Bunda funksiya differensiallanuvchi, hosilasi uzluksiz hamda unga teskari mavjud deb olinadi. Bu holda

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral hisoblangandan so’ng, o’zgaruvchi o’rniga qo’yilib, berilgan integralning javobi olinadi. Berilgan integralni yuqoridagi tenglik yordamida hisoblash o’zgaruvchini almashtirish usuli deyiladi.

Berilgan integralni bevosita hisoblash mumkin bo’lmagan holda qo’llash mumkin bo’lgan usullardan yana biri bo’laklab integrallash usulidir.

Aytaylik, va funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin. U holda bo’lib, undan ni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini hadma-had integrallab yoki ni hosil qilamiz. Bunga bo’laklab integrallash formulasi deyiladi. Bu formula hisoblash ancha qiyin bo’lgan integralni hisoblashni soddaroq bo’lgan inntegralni hisoblashga olib keladi.

Demak, berilgan integralni bo’laklab integrallash formulasi orqali hisoblashni quyidagi algoritm (ketma-ketlik) asosida amalga oshirish mumkin:

1) Integral ostidagi ifoda ikki bo’lakka ajratiladi;

2) Hosil bo’lgan bo’laklardan qatnashganini , ikkinchisini esa orqali belgilanadi;

3) Hosil qilingan differensial bo’yicha biror boshlang’ich funksiya topiladi. Buning uchun aniqmas integralni hisoblab, unda ixtiyoriy o’zgarmas son olinadi;

4) funksiya bo’yicha differensial topiladi;

5) integral hisoblanadi;

6) ni ifodasini bo’laklab integrallash formulasiga qo’yiladi. Bunda va ni shunday tanlash kerakki, natijada formuladagi jadval integrali yoki hisoblanishi osonroq bo’lgan integraldan iborat bo’lsin.

Ba’zi aniqmas integrallarni hisoblashda bo’lakalab integrallash formulasini bir necha marta qo’llashga to’g’ri keladi.

Ba’zi integrallarni hisoblash uchun dastlab bir yoki bir necha marta bo’laklab integrallash orqali ularga nisbatan tenglama hosil qilinib, so’ngra bu tenglamani yechib ko’zlangan maqsadga erishiladi.

ko’rinishdagi integralni kvadrat uchhad qatnashgan integral deyiladi. Uni hisoblash uchun maxrajdagi kvadrat uchhaddan to’la kvadrat ajratiladi. Ya’ni, maxraj

ko’rinishda yoziladi. Bu yerda deb olingan. Shunday qilib, berilgan integral

ko’rinishga keldi. Bu integralda , almashtirish qilib berilgan integraldan

ni hosil qilamiz. Bu esa integrallar jadvalidagi integraldir. Kvadrat uchhad qatnashgan integrallarning ikkinchi turi

ko’rinishda bo’ladi. Buni hisoblash uchun quyidagi ayniy almashtirishlarni bajaramiz.

oxirgi integral 1-tipdagi integral bo’lib uni hisoblash usuli bizga ma’lum.

Kvadrat uchhad qatnashgan integrallarning yana bir turi

ko’rinishda bo’lib, uni hisoblash uchun maxrajida turgan ildiz ostidagi ifodani almashtirishlar yordamida yoki ko’rinishga keltiriladi va natijada jadvaldagi integrallardan biriga keltiriladi.

Kvadrat uchhad qatnashgan integrallarning to’rtinchi turi

ko’rinishda bo’lib, u ikkinchi turdagi intagralni hisoblashda bajarilgan ishlar yordamida hisoblanadi. Ya’ni,

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. integral hisoblansin.

Yechish: =

2. integral hisoblansin.

Yechish: Bu integralni bevosita hisoblab bo’lmaydi. Shuning uchun o’zgaruvchini almashtiramiz.

Agar deb olsak, u holda yoki bo’ladi. Demak,

.

3. integral hisoblansin.

Yechish:

4. integral hisoblansin.

Yechish: Agar integral ostidagi ifodani , deb olib bo’laklasak, u holda

, bo’lib, bo’laklab integrallash

formulasidan

kelib chiqadi. Ammo bunda hosil bo’lgan o’ng tomondagi integral berilgan integralga nisbatan murakkabroq ko’rinishga ega bo’ladi. Demak, bunday bo’laklash maqsadga muvofiq emas. Bundan esa , deb olish kerakligini aniqlaymiz.

5. integral hisoblansin.

Yechish:

6. integral hisoblansin.

Yechish:

=

Demak, biz tenglamani hosil qildik, undan kelib chiqadi. Shunday qilib izlanayotgan integral

dan iborat bo’ladi.

7. integral hisoblansin.

Yechish:

8. integral hisoblansin.

Yechish:

9. integral hisoblansin.

Yechish:



Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:

1. Quyidagi integrallarni o’rniga qo’yish usuli bilan hisoblang.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

Javob: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

11) 12)

2. Quyidagi integrallarni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib hisoblang.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12) .

Javob: 1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

3. Quyidagi integrallar hisoblansin.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17)

Javob: 1) 2)

3) 4) 5)

6) 7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15) 16)

17)

Aim.uz