|
1-misol.
Ikkita fermer birgalikda jami 630 sentner hosil yig’ishdi. Birinchi
fermerning yeri 45 gektar, ikkinchisiniki esa 36 gektar bo’lib, birinchi fermer har
bir gektardan ikkinchi fermerga nisbatan 5sentner ko’p hosil olgan bo’lsa,
ularning har biri o’z yerlaridan gektariga qanchadan hosil olishgan?
Yechish.
Birinchi fermerning bir gektardan olgan hosilini
x
sentner,
ikkinchi fermerning bir gektardan olgan hosilini
y
sentner deb belgilaymiz. U
holda
,
630
36
45
.
5
у
х
у
х
sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistemani Kramer formulalaridan foydalanib
yechamiz:
Δ=
81
36
45
1
1
36
45
,
810
180
630
5
36
630
1
5
36
630
х
405
630
225
630
5
45
5
1
630
45
y
(4.6) formulalarga asosan:
27
,
10
81
810
х
х
.
5
81
405
у
у
Demak birinchi fermerning bir gektardan olgan hosili
10
sentner, ikkinchi
fermerning bir gektardan olgan hosili esa
5
sentner
ekan.
2-misol.
2
4
3
4
8
6
у
х
у
х
sistema yechilsin.
Yechish.
Δ
=
8
6
4
3
=
24-24=0, Δ
х
=
8
4
4
2
=
16-16=0, Δ
у
=
4
6
2
3
=12-12=0.
Sistemaning birinchi tenglamasini 2 ga ko’paytirsak ikkinchi tenglama
kelib chiqadi. Demak sistema bitta 3
x
+4
y
=2 tenglamaga teng kuchli va cheksiz
ko’p yechimlarga ega.
y
ga ixtiyoriy qiymatlar berib
x
ni
х
=
3
4
2
у
tenglamadan
aniqlash yo’li bilan yechimlar topiladi.
Masalan,
у
=0 da
х
=
3
2
,
у
=1 da
х
=-
3
2
va hakozo.
Bu geometrik nuqtai nazardan 3
x
+4
y
=2 va 6
x
+8
y
=4 to’g’ri chiziqlar bitta
to’g’ri chiziq ekanini bildiradi.
3-misol
.
8
2
3
4
4
6
у
х
у
х
sistema yechilsin.
Yechish
.
Δ=
2
4
3
6
=12-12=0, Δ
х
=
2
4
8
4
=32-8=24≠0, Δ
у
=
8
4
3
6
=12-48=-36≠0.
Sistemani asosiy determinanti Δ =0 bo’lib Δ
х
≠0, Δ
у
≠0 bo’lgani uchun
sistema yechimga ega emas(birgalikda emas).
4.1.2.Uch noma‘lumli ikkita bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi.
Quyidagi uch noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz.
,
0
.
0
13
12
11
23
22
21
z
а
у
а
х
а
z
a
у
a
х
a
(4.7)
Bu yerdagi
x ,y
va
z
noma‘lumlar, qolgan barcha sonlar ma‘lum sonlar. Ozod
hadlari nolga teng. Bunday sistema bir jinsli sistema deyiladi. (4.7) sistemani
yechish bilan shug’ullanamiz.
Faraz qilaylik
12
22
11
21
а
а
а
а
0 bo’lsin. U holda sistemani
,
.
13
12
11
23
22
21
z
а
у
а
х
а
z
а
у
a
х
a
ko’rinishida yozamiz. Bu sistema
z
ning har bir aniq qiymatida yagona yechimga
ega bo’lib, yechim Kramer formulalariga ko’ra quyidagicha topiladi.
28
12
22
11
21
13
23
11
21
12
22
11
21
12
22
13
23
,
а
а
а
а
z
а
z
а
а
а
а
а
а
а
а
а
z
а
z
а
y
x
Determinantning
xossalari
(umumiy
ko’paytuvchini
determinant
belgisidan chiqarish mumkinligi hamda ikkita ustunlarini o’rin almashtirganda
determinantning faqatgina ishorasi o’zgarishi) dan foydalanib, yechimni
z
x
а
а
а
а
а
а
а
а
12
22
11
21
13
23
12
22
,
)
(
12
22
11
21
13
23
11
21
z
y
а
а
а
а
а
а
а
а
(4.8)
ko’rinishda yozamiz.
K
z
а
а
а
а
12
22
11
21
deb belgilasak,
z=
К
22
21
12
11
а
а
а
а
bo’lib, uni (4.8) ga qoysak
х=
К
,
23
22
13
12
а
а
а
а
у=-
К
,
23
21
13
11
а
а
а
а
z=
К
22
21
12
11
а
а
а
а
(4.9)
qaralayotgan sistemaning yechimlari kelib chiqadi. (4.7) sistemaning yechimiga
quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. Sistemaning har bir tenglamasi
koordinatalar boshidan o’tuvchi tekislik tenglamasini ifodalaydi. Tekisliklarning
har ikkitasi koordinatalar boshidan o’tganligi sababli ular kesishadi. Ikkita
kesishuvchi tekisliklar to’g’ri chiziq boylab kesishadi. Ana shu to’g’ri chiziq
nuqtalarning koordinatalari sistemaning yechimi bo’ladi.
Xulosa
. Bir jinsli (4.7) sistema yagona yechimga ega bo’lishi yoki
yechimga ega bo’lmasligi mumkin emas. U har doim cheksiz ko’p yechimlarga
ega (aniqmas).
4–misol.
0
2
0
3
2
z
y
x
z
y
x
sistema yechilsin.
Yechish.
(4.9) ga asoslanib
K
K
x
5
1
2
3
1
,
K
K
y
5
1
1
3
2
,
K
K
z
5
2
1
1
2
larni hosil qilamiz.
Shunday qilib berilgan sistemaning yechimlari
х
=-5К,
у
=5К,
z
=5K tengliklar
yordamida aniqlanadi. К ga turli aniq son qiymatlarini qoyib, sistemaning har xil
yechimlarini topamiz.
Masalan: k=3 da x=-15, y=15, z=15 ga teng bo’ladi.
29
4.1.3.Uch noma‘lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi.
Quyidagi uch noma‘lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
,
,
b
z
а
у
а
х
а
b
z
а
у
а
х
а
b
z
а
у
а
х
а
(4.10)
ni qaraymiz. Bu yerdagi
х,у
va
z
noma‘lum sonlar, qolgan barcha sonlar ma‘lum
sonlar.
а
11
,
а
12
,...,
а
33
sistemaning koeffitsientlari,
b
1
,
b
2
, va
b
3
ozod sonlar. Barcha
ozod sonlar nolga teng bo’lganda (4.10) sistema
bir jinsli
deyiladi.
(4.10) sistemani yechish bilan shug’ullanamiz. Noma‘lumlar oldidagi
koeffitsientlardan tuzilgan uchinchi tartibli
Δ=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
determinant (4.10) sistemaning
asosiy
determinanti deb ataladi. Berilgan
sistemani yechish uchun sistemaning birinchi tenglamasini
а
11
elementning
algebraik to’ldiruvchisi
А
11
ga, ikkinchi tenglamasini
а
21
elementning algebraik
to’ldiruvchisi
А
21
ga va uchinchi tenglamasini
а
31
elementining algebraik
to’ldiruvchisi
А
31
ga ko’paytirib tenglamalarni hadma had qo’shamiz.
(
а
11
А
11
+
а
21
А
21
+
а
31
А
31
)
х
+(
а
12
А
11
+
а
22
А
21
+
а
32
А
31
)
у
+(
а
13
А
11
+
а
23
А
21
+
а
33
А
31
)
z= =
b
1
А
11
+
b
2
А
21
+
b
3
А
31
(4.11)
Birinchi qavs ichidagi ifoda Δ determinantning birinchi ustun elementlari
boyicha yoyilmasi bo’lganligi uchun determinantning 7-xossasiga ko’ra
а
11
А
11
+
а
21
А
21
+
а
31
А
31
=Δ bo’ladi. Chunki, (4.11) dagi ikkinchi va uchinchi qavs
ichidagi ifodalar Δ determinantni ikkinchi va uchinchi ustun elementlarini
boshqa bir ustunning mos elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga
ko’paytirib qo’shilganligi uchun determinantning 8-xossasiga ko’ra ular nolga
teng bo’ladi. Shunday qilib (4.11) tenglik
Δ·x=
b
1
А
11
+b
2
А
21
+
b
3
А
31
(4.12)
ko’rinishga ega bo’ladi.
Δ
х
=
;
33
32
3
23
22
2
13
12
1
а
а
b
а
а
b
а
а
b
determinantni qaraymiz. Bu determinant asosiy determinantdagi birinchi ustun
elementlarini ozod sonlarga almashtirish natijasida hosil bo’ladi. Uning
b
1
,
b
2
,
b
3
,
elementlarining algebraik to’ldiruvchilari mos ravishda Δ determinantning
а
11
,
а
21
,
а
31
elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga tengligini hisobga olsak
b
1
А
11
+
b
2
А
21
+
b
3
А
13
=Δ
х
bo’lib, (4.12) tenglik
x
x
(4.13)
ko’rinishni oladi.
30
Shunga o’xshash
y
y
,
z
z
(4.14) tengliklarni hosil qilamiz,
bunda
Δ
у
=
33
3
31
23
2
21
13
1
11
а
b
а
а
b
а
а
b
а
Δ
z
=
3
32
31
2
22
21
1
12
11
b
а
а
b
а
а
b
а
а
Δ
у
determinant sistemaning asosiy determinanti Δ dagi ikkinchi ustun
elementlarini ozod sonlarga, Δ
z
esa Δ dagi uchinchi ustun elementlarini ozod
sonlarga almashtirish natijasida hosil bo’ladi.
Mumkin bo’lgan qoyidagi hollarni qaraymiz:
I. (4.10) sistemaning asosiy determinanti Δ≠0 bo’lsin. U holda (4.13) va
(4.14) tenglamalarni har birini Δ ga bo’lib
х
=
х
, у=
у
, z=
z
(4.15)
formulalarga ega bo’lamiz. (4.15)
Do'stlaringiz bilan baham: | 
