О ‘ zbekiston respublikasi oliy va о ‘ rta maxsus ta ’ lim vazirligi

1.2. Iqtisodiy masalalarni chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga 
modellashtirish. 
Quyida iqtisodiy masalalarni chiziqli tenglamalar sistemasiga keltirishga 
matematik modellashtirishga misol qaraymiz: 
Ma
’
lumki, banklarga quyidagidan omonat pullari yil oxiriga borib, ma
’
lum 
bir foizga (har bir bank uchun alohida) ortadi. 
Aytaylik, omonatchi yil boshida A mln.sо
‘
m pulini 
1
m
qismini birinchi 
bankga, 
2
m
qismini ikkinchi bankga, 
3
m
qismini uchinchi bankga qо
‘
ysa, 
natijada yil oxirida u 
1
b
mln.sо
‘
mga ega bо
‘
lardi. Bu yerda 
1
3
2
1



m
m
m
(variant 1). Agarda u 
1
n
a
qismini birinchi, 
2
n
qismini ikkinchi, 
3
n
qismini 
uchinchi bankga qо
‘
yganida 
2
b
mln.sо
‘
mga ega bо
‘
lardi (variant 2). Xuddi 
shuningdek 
1
p
qismini birinchi, 
2
p
qismini ikkinchi, 
3
p
qismini uchinchi bankga 
qо
‘
yganda 
3
b
mln.sо
‘
mga ega bо
‘
lardi (variant 3). Har bir bank beradigan foyda 
foizi qancha bо
‘
lishligini topamiz. 
Yechish. Quyidagicha belgilashlar kiritamiz:
1
х
-birinchi bank, mos ravishda, 
2
х
-ikkinchi bank, mos ravishda, 
3
х
-uchinchi bank omonatiga tо
‘
lab beradigan foizi. 
Yil oxirida mijozni puli birinchi bankda
А
m
1
mln.sо
‘
m, oladigan foydasi 
100
1
1
х
А
m

mln.sо
‘
m bо
‘
ladi. 
11
1
100
а
А
m

deb belgilaymiz. U holda birinchi bank 
foydasi 
1
11
х
а
, ikkinchi bankda mijozni puli 
А
m
2
, oladigan foydasi 
100
2
2
х
А
m

mln.sо
‘
m bо
‘
ladi. (
2
12
12
2
,
100
х
а
фойда
а
А
m

), uchinchi bankda mijozni puli 
А
m
3
oladigan foydasi 
100
3
3
х
А
m

mln.sо
‘
m bо
‘
ladi. (
3
13
13
3
,
100
х
а
фойда
а
А
m

). 
Mijozni yil davomida jami oladigan foydasi 
1
1
1
b
А
В


sо
‘
m bо
‘
ladi. 
Shunday 
qilib, 
mijoz 
yil 
davomida 
oladigan 
foydasi 
1-variantda 
b
x
a
x
a
x
a



3
13
2
12
1
11
mln.sо
‘
m bо
‘
ladi. Xuddi shunday mulohaza qilish orqali 2 
variantda mijoz oladigan foyda 
21
3
13
2
22
1
21
b
x
a
x
a
x
a



. 3 variantda mijoz yil 
oxirida
3
3
33
2
32
1
31
b
x
a
x
a
x
a



mln.sо
‘
m foyda olgan bо
‘
lardi. 
Natijada mijozni yil oxirida oladigan foydasi uchun uchta variantda 
oladigan foydasi quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi orqali 
ifodalanadi. 














3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
(1) 

---

7 
1.3. Elektr zanjirlardan о
‘
tayotgan toklarni hisoblash masalasini 
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirish modeli. 
Murakkab elektr zanjirlaridan о
‘
tayotgan toklarni hisoblashni matematik 
modeli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzish turli: hususan, Kirxgof 
qonunlariga asoslangan, kataklar potensiallari va kontur toklar usullar yordamida 
amalga oshiriladi: Quyida kontur toklar usulida tо
‘
xtalamiz.
Bu usulda izlanayotgan noma
’
lum о
‘
zgaruvchi sifatida kontur toklar 
olinadi. О
‘
zaro bog
‘
liq bо
‘
lmagan konturdan yagona kontur toki о
‘
tadi deb faraz 
qilinadi va shoxobchalar toki shu kontur toklari orqali aniqlanadi. Kontur toklar 
usuli-Kirxgofning ikkinchi qonuniga asoslanadi. Tenglamalar har bir kontur 
toklariga nisbatan tuziladi (1-chizma). 
Quyidagi chizmada berilgan ikkita mustaqil konturlarni hisoblash uchun 
tenglamalar sistemasini tuzamiz. 
1-
 
chizma. 
Birinchi kontur uchun




2
1
2
1
1
2
1
E
E
J
J
R
J
R
R
s





Ikkinchi kontur uchun 

 

4
5
2
4
3
2
1
5
E
E
J
R
R
J
J
R







tenglamalarda 
shakl almashtirib, quyidagiga ega bо
‘
lamiz: 







22
2
22
1
21
11
2
12
1
11
E
J
R
J
R
E
J
R
J
R
Bu yerda
;
;
5
4
3
22
3
2
1
11
R
R
R
R
R
R
R
R






;
;
5
4
22
5
21
12
2
1
11
E
E
E
R
R
R
E
E
E








Agar sxemada mustaqil konturlar soni ikkitadan kо
‘
p, masalan uchta 
bо
‘
lsa, uchta chiziqli tenglamalar sistemasi (1) ga, umumiy holda n ta bо
‘
lganda 
quyidagi n ta noma
’
lumli n chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltiriladi. 



















nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
E
J
R
J
R
J
R
E
J
R
J
R
J
R
E
J
R
J
R
J
R



2
2
1
1
22
2
2
22
1
21
11
1
2
12
1
11
.......
..........
..........
..........
..........
 

---

8 
1.4. Matematik fizika tenglamalarini chiziqli algebraik tenglamalar 
sistemasiga modellashtirish. 
Ma’lumki, ko’pgina fizik jarayonlarni o’rganish matematik fizika 
tenglamalari deb ataluvchi quyidagi 3 ta xususiy hosilali ikkinchi tartibli 
differensial tenglamalarga keltiriladi. 
1.To’lqin tenglamasi 
2
2
2
2
2
)
;
(
x
u
a
t
t
x
u





2.Issiqlik tarqalish tenglamasi 
2
2
2
2
)
;
(
x
u
a
t
t
x
u





3.Laplas tenglamasi 
0
)
;
(
2
2
2
2






y
u
x
t
x
u
Bu tenglamalarning yechimlarini bir qiymatli aniqlash uchun biror bir D 
tekis sohada aniqlangan boshlang’ich va chegaraviy shartlar deb ataluvchi 
qo’shimcha shartlar beriladi. Lekin, ko’p hollarda yechimlarni analitik shaklda 
topishning iloji yo’q. Bunday hollarda sonli usullar yordamida taqribiy 
yechimlar topiladi.
Oddiy differensial tenglamalarni chekli ayirmalar usuli bilan taqribiy 
yechishda hosilalar chekli ayirmalarga almashtirilgani kabi xususiy hosilali 
differensial tenglamalarni yechishda ham xususiy hosilalar mos chekli 
ayirmalarga almashtiriladi: 
h
t
x
u
t
h
x
u
x
t
x
u
)
;
(
)
;
(
)
;
(





2
2
2
)
;
(
)
;
(
2
)
;
(
)
;
(
h
t
h
x
u
t
x
u
t
h
x
u
x
t
x
u







h
t
x
u
h
t
x
u
t
t
x
u
)
;
(
)
;
(
)
;
(





Bu chekli ayirmalar usuli kataklar yoki to’rlar usuli deb ham yuritiladi. 
Unga ko’ra qaralayotgan D tekis soha parallel chiziqlar kesishishida hosil 
bo’ladigan to’r tugunlari bilan almashtiriladi. Har bir tugun matematik fizika 
tenglamalaridagi hosilalar yuqoridagi chekli ayirmalar bilan almashtirilib tuzib 
olinadi. Bunda sohani chegaralariga yaqin tugunlardagi funksiya qiymatlari 
boshlang’ich va chegaraviy shartlar yordamida topiladi. Ichki tugunlarda 
izlanayotgan funksiya qiymatlarini toppish uchun chekli ayirmalar qatnashgan 
algebraik tenglamalar hosil bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda N ta ichki tugun 
uchun N ta algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bu algebraik 
tenglamalar sistemasi yechilib, izlanayotgan funksiyani tugunlarda qiymatlari 
taqribiy topib olinadi. 

---

9 
O’rta maktab kursidan, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini 3 ta 
usulda: qo’shish, o’rniga qo’yish va grafik usulda yechish mumkinligini bilamiz. 
Lekin bu usullar noma’lumlar va tenglamalar soni ko’p bo‘lganda yaxshi 
natijalarni bermaydi. Shuning uchun ham umumiyroq usullarni o’rganamiz. 
2-mavzu: Determinantlar va ularning xossalari. 
Reja:
1. Ikkinchi tartibli determinantlar. 
2. Uchinchi tartibli determinantlar. 
3. Minor va algebraik to’ldiruvchi. 
4. Determinantlarning asosiy xossalari. 
5. Determinantlarni hisoblash usullari. 
6. n-tartibli determinant haqida tushuncha. 
Adabiyotlar: 
3,5,6,7,10,11,15. 
Tayanch iboralar
: determinant, satr, ustun, element, diagonal, minor, 
algebraik to’ldiruvchi.