2-mavzu. Determinantlar va ularning asosiy xossalari. Reja

2-MAVZU. Determinantlar va ularning asosiy xossalari.

Reja:

2.1. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar va ularning xossalari.

2.2. Determinantlarni hisoblash qoidalari. Minor va algebraik to‘ldiruvchilar.

2.3.Chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usulida yechish.

Tayanch iboralar: Ikkinchi tartibli determinant, uchinchi tartibli determinant, determinantni hisoblashni uchburchak usuli, determinantni hisoblashni minorlarga yoyish usuli, determinantni hisoblashni Sarrius usuli. Chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usulida yechish.

2.1. Determinantlar

Determinant- matritsalarni geometriyaga tadbiq qilishda matritsalar uchun muhim qo'shimcha. Uchlari nuqtalarda joylashgan parallelogramni ko'rib chiqaylik . Pifagor teoremasidan foydalanib, ikki tomon va diagonal uzunligiga ega bo’lamiz

Parallelogram yuzasi quyidagicha topiladi

2.1 Rasm
Parallelogram yuzasi ga teng.

bunda tomonlar orasidagi burchak. belgisi yo'nalishlariga qarab tanlanadi. Bundan tashqari, kosinuslar teoremasiga ko’ra

(1.8) va (1.9) tengliklar yordamida ni bartaraf etish orqali, ba'zi algebraik amallardan keyin, quyidagi tenglikni hosil qilamiz

(2.3)

(Agar vektorlarni vektorial ko’paytmasidan habardor bo’lsangiz O’zgaruvchilarning bunday kombinatsiyasi determinant deyiladi va quyidagicha belgilanadi

(2.4)

Umuman olganda tartibli matritsa uchun

(2.5)

Parallelogramning uch o'lchovli analogi bo’lgan parallelepipedning barcha oltita yoqlari parallelogramlardan iborat bo’ladi. 2.2-rasmda bir uchi nuqtada, unga qarama-qarshi uchi

nuqtada, uchta uchi nuqtalarda joylashgan parallelepiped tasvirlangan. Ba'zi algebraik va trigonometrik almashtirishlardan foydalanib, parallelepipedning hajmini topish mumkin

(2.6)
Vektor tahlildan foydalanib hosil qilish mumkin, bunda vektorlar mos ravishda uchlari nuqtada bo’lgan oxirlari nuqtalarda bo’lgan vektorlar.]


2.2 Rasm
Parallelepipedning hajmi determinantga teng.

Xuddi shu tariqa tartibli determinantni o’lchovli giperparallelepipedning giperhajmi sifatida keltirish mumkin.

Umuman olganda tartibli matritsaning determinantini quyidagicha hisoblash mumkin



determinantni asosiy diogonali elementlarining ko’paytmasi bilan qo’shimcha diagonal elementlari ko’paytmasi ayirmasi sifatida hisoblash mumkin:

Xuddi shu kabi determinant uchun:

bunda dastlabki ikki ustunlar determinantning o'ng tarafida takroran yozilgan.

Ko’pgina kitoblarda determinantlar minorlar va kofaktorlar orqali hisoblash ko’rsatilgan, biroq bu usul kompyuter dasturlari yordamida determinantlar hisoblash imkonini bermaydi. Ikkita ustun yoki satr almashtirilganda determinantni qiymati teartibli determinantlarda tekshirish oson. Agar bitta satr yoki ustun mos ravishda ikkinchi satr yoki ustunga biror sonni ko’paytirish orqali hosil qilinsa determinantning qiymati nolga teng bo’ladi.

Ikkita matritsalarining ko’paytmasining determinant, har birining determinantlarining ko’paytmasiga teng. Uch yoki undan ko’p matritsalarning har qanday tartibdagi aralash ko’paytmalarining determinanti bir xil bo’ladi:

. (2.8)

Determinantni hisoblash usullari:

1-usul. Uchinchi tartibli determinantni uchburchak usulida hisoblash.

Uchinchi bosqichda esa hosil bo’lgan birinchi yig’indidan ikkinchisi ayriladi. Buni quyidagi sxemada ifodalaymiz:

Ushbu sxema bo’yicha quyidagi determinantni hisoblaymiz:

2-usul. Determinantni Sarrius usulida hisoblash

Determinantni Sarrius usulida hisoblash ikki xil yo’l bilan amalga oshiriladi:

1. Determinantning o’ng yoniga birinchi va ikkichi ustun elementlari qo’shimcha yozilib, 1- sxema yordamida yechiladi.

2. Determinantning ost tomoniga birinchi va ikkinchi satr elementlari qo’shimcha yozilib, 2-sxema yordamida hisoblanadi:

3-usul. Yoyib yozish usuli. Bu usulni minorlarga yoyish usuli yoki tartibini pasaytirib hisoblash usuli ham deyish mumkin. Determinantni birinchi satr elementlari bo’yicha yoysak, quyidagicha bo’ladi: