Monoton funksiyalar

3.6-natija (Lebeg). O‘zgarishi chegaralangan har qanday funksiya deyarli har bir nuqtda chekli hosilaga ega.
Bu natijalar 2.1, 3.1 va 3.3- teoremalardan bevosita kelib chiqadi.
Biz Monoton funksiylar mavzusida chapdan va o‘ngdan uzluksiz bo‘lgan sakrash funksiyalarini kiritgan edik. Endi bu paragrafda sakrash funksiyasini quyidagicha umumlashtiramiz: faraz qilaylik, nuqtalar segmentdan olingan soni chekli yoki sanoqli nuqtalar bo‘lsin. Har bir nuqtaga ikkita va sonlarni mos qo‘yamiz va ular uchun ushbu

Munosabatning bajarilishini talab etamiz: undan tashqari, bo‘lganda va bo‘lganda esa bo‘lsin. Quyidagi tenglik bilan aniqlangan

funksiya sakrash funksiya deyiladi. Bu funksiya uchun ekanini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin. funksiyaning uzilish nuqtalari nuqtalardan iborat bo‘lib, har bir natural son uchun va sonlardan birortasi noldan farqli bo‘lsa, uning nuqtadagi sakrashi quyidagiga tengdir:

1.4-teoremaga o‘xshash teorema bu yerda ham o‘rinlidir.
3.7-teorema. segmentda aniqlangan har qanday o‘zgarishi chegaralangan funksiya yagona usul bilan uzluksiz funksiya va sakrash funksiyalrining yig’indisi sifatida ifoda etiladi.
Bu teoremaning isboti 1.4-teoremaning isbotidan farq qilmaganligi sababli, uning isbotiga to‘xtalmaymiz.
Endi uzluksiz, lekin o‘zgarishi chegaranmagan funksiyaga misol keltiramiz.

bo‘lsin. Bu funksiya nuqtaning atrofida soni cheksiz maksimum va minimum nuqtalarga ega. Quyidagi jadvalni tuzamiz:

Bundan ko‘rinadiki:

ya’ni funksiyaning segmentdagi o‘zgarishi

3.8-teorema. Agar segemnetda aniqlangan va o‘zgarishi chegaralangan funksiya biron nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda bu nuqtada funksiya ham uzluksiz bo‘ladi.
Isbot. bo‘lsin; funksiyaning nuqtada o‘nhdan uzluksizligini ko‘rsatamiz. Buning uchun segmentni shunday

ta qismga bo‘lamizki, ixtiyoriy son uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘lsin:
(7)
Chap tomondagi yig’indi bo’lish nuqtalari ko’payganda o’sishigina mumkin: shuning uchun nuqtani quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladigan qilib tanlab olamiz:

U holda (7) dan:

Bundan:
ya’ni

ixtiyoriy bo’lganligi uchun: tenglik ham huddi shunga o’xshash isbot etiladi, ya’ni funksiya (agar bo’lsa) nuqtada chapdan uzluksiz. Xususiy holda ni nuqtada chapdagina ( nuqtada o’ngdagina) uzluksizligini ko’rsatish kifoya.