Monoton funksiyalar

2.3-izoh. (1) shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtani, qisqalik uchun, o‘ngga ko‘tarilish nuqtasi deyiladi. Chapga ko‘tarilish nuqtasi ta’rifi ham shunga o‘xshash beriladi: agar nuqta uchun

nuqtalarni qanoatlantiruvchi nuqta topilsa, chapga ko‘tarilish nuqtasi deyiladi. Yuqoridagi o‘xshash, chapga ko‘tarilish nuqtalari to‘plami ochiqligi hamda bu to‘plamni tuzuvchi oraliqlarda

Munosabatlarning o‘rinliligi ko‘rsatiladi.
Endi monoton funksiyani segmentda uzluksiz deb, teoremaning isbotiga o‘tamiz. Masalan, kamaymaydigan bo‘lsin. Ushbu

Uzluksizlarning deyarli o‘rinliligini faraz qilgan holda teoremani isbotlaymiz.
Darhaqiqat, kamaymaydigan funksiya bo‘lgani sababli

Funksiya ham kamaymaydigan hamda


Endi, b) tengsizlikni funksiyaga tadbiq qilinsa, quyidagi tengsizlikning bajaralishi kelib chiqadi:

ya’ni

va sonlarning ta’riflanishidan ushbu
va
tengsizliklar bevosita kelib chiqadi.
Bulardan hamda a) va b) tengsizliklardan

Tengsizlilarning deyarli bajarilishi kelib chiqadi: bulardan esa chekli hosilaning deyarli mavjudligi aniq ko‘rinib turibdi.
Teoremani to‘la isbotlash uchun a) va b) tengsizliklarni isbotlash qoldi.

1. 
   tengsizlikni isbot etmoq uchun
   

va
to‘plamlarni kiritamiz; ekani ravshan. Agar bo‘lsa, u holda shundan nuqta mavjudki, uning uchun

Bundan, agar deb olsak, bu holda: Demak, to‘plam funksiya uchun yuqoridagi lemmada aniqlangan oraliqlarda joylashgan. Shu bilan birga, o‘sha lemmaga asosan,
yoki
tengsizlilar bajariladi. Bundan:

Bu tengsizliklardan ko‘rinadiki, yetarli katta bo‘lganda oraliqlarning uzunliklari yig’indisi istagancha kichik qilinishi mumkin. Demak, to‘plamning o‘lchovi nolga teng, ya’ni a) munosabat deyarli o‘rinli.

2. 
   tengsizlik ham yuqoridagi mulohazalarni ketma-ket tadbiq qilish bilan isbot etiladi. Bu tengsizlikka teskari bo‘lgan
   

tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ushbu

Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami larning yig’indisiga teng; bunda va sonlar, munosabatni qanoatlantirgan holda, barcha rasional qiymatlarni qabul qiladi, ya’ni
(5)
bu yerda - rasional sonlar to‘lami. Ammo to‘plam sanoqli bo‘lgani uchun (5) yig’indi hadlarining soni sanoqli. Demak, agar lar har birining o‘lchovi nol ekanligi ko‘rsatilsa, to‘plamning o‘lchovi ham nolligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, teoremani isbotlash uchun to‘plamning o‘lchovi nol ekanligini ko‘rsatish kifoya.
bo‘lsin. U holda bo‘lganligi uchun dan chapda yotuvchi hamda
(6)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqta mavjud. bo‘lgani uchun (6) tengsizlikdan

tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, nuqta funksiyaning chapga ko‘tarilish nuqtasi. Bu funksiyaga Riss lemmasini va uning izohini tatbiq qilib, chapga ko‘tarilish nuqtalaridan iborat bo‘lgan ochiq to‘plamning tuzuvchi oraliqlari uchun

tengsizlikni, bundan esa
(7)
tengsizlikni hosil qilamiz.
Yuqorida olingan nuqta topilgan oraliqlarning birida yotadi. Bu nuqtada

bo‘lgani uchun oraliqda
(8)
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtani toppish mumkin. Keyingi yasashlarimizni oraliqlarning ichida bajaramiz.
(8) tengsizliklar nuqtaning funksiya uchun o‘ngga ko‘tarilish nuqtasi ekanligini ko‘rsatadi. Bu funksiyaning oraliqdagi barcha o‘ngga ko‘tarilish nuqtalari to‘plami ochiq bo‘lib, bu to‘plam tuzuvchi oraliqlarning yig’indisiga teng, shu bilan birga bu oraliqlarning chegarasida

yoki
.
Buni indeks bo‘yicha yig’ib,

tengsizliklarni hosil qilamiz. (7)dan foydalanib

munosabatga, bo‘yicha yig’ib esa
(9)
munosabatlarga ega bo‘lamiz. Ko‘rinadiki, oraliqlar sistemasi, oraliqlar systemasi kabi, to‘plamni qoplaydi, ammo oraliqlarning uzunliklari yig’indisi lar uzunlilarining yig’indisidan kichik.
to‘plamning har bir nuqtasi uchun oraliqlarning ichida yuqoridagi yasashlarni qaytarish mumkin. Natijada yangi uchinchi xil sistemani va to‘rtinchi xil sistemani hosil qilamiz va bular uchun:

Bu ifodani va bo‘yicha yig’ib va (9) dan foydalanib

tengsizliklarni yoza olamiz.
Bu ifoda ko‘rsatadiki, to‘rtinchi qadamda olingan oraliqlarning ( to‘plamni qoplagan holda) uzunliklari yig’indisidan kichik. Agar yuqoridagi yasashlarni davom ettirsak, u holda -qadamdagi oraliqlar sistemasi ham to‘plamni qoplaydi va bu sistemadagi oraliqlarning uzunliklari yig’indisi dam katta bo‘lmaydi va demak, -yetarli katta bo‘lganda, uni ixtiyoriy sondan kichik qilinishi mumkin. Bundan to‘plamning o‘lchovi nolga tengligi kelib chiqadi.
Shu bilan teorema uzluksiz monoton funksiyalar uchun isbot qilindi. Endi teoremani uzlukli monoton funksiyalar uchun isbotlaymiz.
Eslatamizki, ixtiyoriy monoton funksiya faqat birinchi turdagi uzilishlarga ega bo‘lishi mumkin. Shuning uchun har qanday nuqtada funksiyaning o‘ng va chap limitlari mavjud:

Darhaqiqat, biror tomondan bir necha turli limit qiymatlarning mavjud bo‘lishi funksiyaning monotonligiga zid. oraliq uzilish oralig’I, bu oraliqning uzunligi, ya’ni ayirma funksiyaning nuqtadagi sakrashi bo‘ladi. funksiya monotn bo‘lgani uchun turli uzilish oralqilari kesishmaydi (ko‘pi bilan umumiy uchga ega bo‘lishi mumkin); agar har bir oralqilarning soni ko‘pi bilan sanoqli bo‘lishini ko‘ramiz. Demak, monotn funksiyaning uzilish nuqtalari ko‘pi bilan sanoqli ekan.
Uzlukli monotn funksiyaning hosilasi mavjudligini tekshirish uchun Riss lemmasini umumlashtirish. funksiya uzluksiz bo‘lmasa ham ko‘pi bilan birinchi turdagi uzilishga ega bo‘lgan funksiya bo‘lsin. Agar nuqta uchun

Tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqta mavjud bo‘lsa, nuqta o‘ngga ko‘tarilish nuqtasi deyiladi. Yuqorida keltirilgan Riss lemmasidagi mulohazalarni takrorlab, barcha o‘ngga ko‘tarilish nuqtalaridan iborat bo‘lgan to‘plamning ochiqligini va bu to‘plamni tuzuvchi oraliqlarda

tengsizlikning o‘rinliligini hosil qilamiz. Bu esa teoremaning isbotini o‘zgarishsiz o‘tkazish uchun kifoya. Shu bilan teorema to‘la isbotlandi.