Monoton funksiyalar

3.9-teorema. segmentda aniqlangan funksiyalardan iborat cheksiz to’plam berilgan bo’lib, bu funksiyalar to’plami biror o’zgarmas son bilan chegaralangan, ya’ni
(8)
bo’lsa u holda ixtiyoriy sanoqli to’plam chun to’plamdan shunday funksiyalar ketma-ketligini ajratib olish mumkinki, bu ketma-ketlik to’plamning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. to’plam sanoqli bo’lganligi uchun uning elementlarini ketma-ketlik shaklida yozib,

To’plamni tuzamiz; bu yerda ning o’zi to’plamda o’zgaradi.
(8) shartga ko’ra to’plam chegralangan bo’ladi. Demak, Bolsano-Veyershtrass teoremasiga muvofiq bu to’plamdan yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin:

Endi quyidagi chegralangan ketma-ketlikni tuzamiz:

Bu ketma-ketlik ham Bolsano-Veyershtrass teoremasini tatbiq qilib, nuqtada yaqinlashuvchi

ketma-ketlikni hosil qilamiz. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, quyidagi yaqinlashuvchi, soni sanoqli ketma-ketliklarni tuzishimiz mumkin:
(9)
Bu ketma-ketliklarning har biri oldingisining qism ketma-ketligidir. (9) ketma-ketliklarning diagonalida joylashgan elementlardan
(10)
Ketma-ketlik tuzilsa, bu ketma-ketlik sanoqli to’plamning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi bo’lib, biz izlagan ketma-ketlik bo’ladi. (10) ketma-ketlik to’plamning har bir nuqtasida yaqinlashadi, chunki agar bo’lsa, u holda ketma-ketlikning tuzilishiga ko’ra da ga yaqinlashadi.
3.10-teorema. segmentda aniqlangan o’suvchi funksiyalardan iborat cheksiz to’plam berilgan bo’lib, bu funksiyalar to’plami biron o’zgarmas son bilan chegralangan, ya’ni

bo’lsa, u holda to’plamdan segmentning har bir nuqtasida biron o’suvchi funksiyaga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.
Isbot. 3.9-teoremadagi sanoqli to’plam sifatida segmentdagi hamma rasional nuqtalardan va nuqtadan (agar irrasional bo’lsa) iborat to’plamni olib, berilgan to’plamga shu teoremani tatbiq qilamiz. U holda to’plamdan to’plamning har bir nuqtasida chekli limitga ega bo’lgan ketma-ketlikni ajratib olishimiz mumkin, ya’ni
(11)
Endi to’plamning har bir nuqtasida qiymati (11) limitining o’ng tomoniga teng funksiyani ko’ramiz, ya’ni funksiya to’plamda aniqlangan bo’lib, o’suvchi funksiya bo’ladi, chunki sistemadan ajratib olingan funksiyalar ketma-ketligining har bir elementi o’suvchi funksiya (teoremaning shartiga ko’ra) bo’lgani uchun da . Demak, agar va da nuqtalar to’plamga tegishli bo’lib, bo’lsa, u holda

Endi funksiyani yarim oraliqning hamma irrasional nuqtalarida quyidagicha aniqlaymiz:

bu yerda mos ravishda to’plamning rasional va irrasional nuqtalari. Ravshanki, funksiya tuzilishiga ko’ra segmentda o’suvchi funksiyadir. Demak, 1.3-teoremega asosan funksiyaning uzilish nuqtalaridan iborat to’plam ko’pi bilan sanoqli bo’ladi.
Agar nuqta ning uzluksizlik nuqtasi bo’lsa, u holda
(12)
Darhaqiqat, ixtiyoriy uchun to’plamda shunday va nuqtalar mavjudki, ular uchun
va
munosabatlar o’rinli.
(11) ga muvofiq, va nuqtalar uchun shunday natural son mavjudki, bo’lganda

tengsizliklar o’rinli bo’ladi, ya’ni

ning tuzilishiga muvofiq, bu munosabatlarga asoslanib, bo’lganda quyidagi tengsizliklarni yozishga haqlimiz:

Bulardan va uchun

tengsizlikning o’rinli ekanligidan da

tengsizliklar o’rinli bo’ladi va bundan ( ixtiyoriy bo’lganligi uchun) (12) munosabat kelib chiqadi. 1.3-teoremaga asosan funksiyaning uzilish nuqtalari to’plami ko’pi bilan sanoqli bo’lgani uchun
(13)
tenglik segmentning ko’pi bilan sanoqli qismidagina \bajarilmasligi mumkin. Shuni nazarda tutib, 3.9-teoremani ketma-ketlikka tatbiq qilamiz; to’plam sifatida ning (13) munosabat bajarilmagan nuqtalarini olamiz. Buning natijasida ketma-ketlikdan segmentning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin. Endi sifatida

Funksiya olinsa, u o’suvchi bo’lib, biz izlagan funksiya bo’ladi.