Monoton funksiyalar

1.2-teorema. Monoton funksiyaning uzilish nuqtalari faqat birinchi turdagi bo‘lishi mumkin.
Isbot. Haqiqatan, ixtiyoriy nuqta bo‘lib, ketma-ketlik nuqtaga chapdan yaqinlashsin, ya’ni 1.1-teoremaga asosan ketma-ketlik quyidan va yuqoridan mos ravishda va sonlar bilan chegralangandir. Matematik analizdagi monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga aosan bunday ketma-ketlik limitga ega. funksiyaning monotonligiga asosan bu limit nuqta yaogandir. Shu bilan ning mavjudligi isbotlandi. ning mavjudligi shunga o‘xshash isbotlanadi.
1.3-teorema. Monoton funksiyaning uzilish nuqtalari to‘plami ko‘pi bilan sanoqlidir.
Isbot. Haqiqatan, segmentda monoton bo‘lgan funksiyaning chekli sondagi sakrashlarning yig’indisi ayirmadan katta bo‘la olmaydi. Bundan quyidagi muhim natija kelib chiqadi: har bir natural son uchun qiymati dan katta bo‘lgan sakrashlar soni cheklidir. Bulardan, bo‘yicha qo‘shib, chiqib, sakrash nuqtalaridan iborat to‘plam chekli yoki sanoqli degan xulosani olamiz.
2-ta’rif. Agar segmentda aniqlangan monoton funksiya uchun nuqtada tenglik bajarilsa, nuqtada chapdan uzluksiz, agarda tenglik bajarilsa, nuqtada o‘ngdan uzluksiz funksiya deyiladi.
1.2.Monoton funksiyaning hosilasi
Ma’lumki, funksiyaning hosilasi

Mavjud bo‘lishi yoki bo‘lmasligi mumkin, lekin quyidagi to‘rt ifodaning har biri aniq bir ma’noga ega bo‘lib yo chekli qiymatga, yoki ga gat eng:

sonlar ning nuqtadagi xosila sonlar deyiladi.
Agar bo‘lsa, u holda funksiya o‘ng (mos ravishda chao) xosilaga ega deyiladi va bu xosilalar (mos ravishda ) bilan belgilanadi.
Tabiiyki, funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lishi uchun yuqoridagi to‘rtta hosila sonlarning bir-biriga teng bo‘lishi zarur va kifoyadir.