Monoton funksiyalar

1.3. O‘zgarishi chegaralangan funksiyalar

Muhim va ko‘pgina tatbiqlarga ega bo‘lgan funksiyalar orasida o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar sinfi katta ahamiyatga ega.

Ta’rif. segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo‘lsin. Agar segmentni

nuqtalar bilan ixtiyoriy qismga bo‘lganimizda nuqtalarni tanlab olishga bog’liq bo‘lmagan va ushbu
(1)
Tengsizlikni qanaotalntiradigan o‘zgarmas son mavjud bo‘lsa, u holda funksiya segmentda o‘zgarishi chegaralangan deyiladi.
Har qanday o‘zgarishi chegaralangan funksiya chegaralangan funksiyadir. Haqiqatan, o‘zgarishi chegaralangan bo‘lgani sababli har qanday uchun

Bundan va

tengsizlikdan funksiyaning chegaralaganligi kelib chiqadi.
Odatda (1) tengsizlikning chap tomonidagi yig’indining aniq yuqori chegarasini ( segmentni qismlarga turlicha bo‘lishlar to‘plamiga nisbatan) bilan belgilanadi va bu sonni fuknsiyaning segmentdagi to‘la o‘zgarishi deyiladi.
Misollar. 1) segmentda aniqlangan va monoton o‘suvchi funksiya chegaralangan o‘zgarishga ega, chunki uning (1) ko‘rinishidagi har qanday yig’indi gat eng.
Shunga o‘xshash, segmentda aniqlangan va monoton kamayuvchi funksiya ham chegaralangan o‘zgarishga ega.
2) Agar biror musbat va o‘zgarmas son hamda ixtiyoriy nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya segmentda Lipshis shartini qanoatlantiruvchi deyiladi. segmentda chegaralanagan va Lipshis shartini qanoatlantiruvchi funksiyaning o‘zgarishi chegaralangan bo‘ladi. Darhaqiqat, Lipshis shartiga muvofiq:

bundan: ya’ni ning o‘zgarishi chegaralangan.
Endi o‘zgarishi chegaralangan funksiyalarning tuzilishi va xossalarini o‘rganishga o‘tamiz.