Monoton funksiyalar

3.1-teorema. segmentda o‘zgarishi chegralangan ikki va funksiyaning yig’indisi, ayirmasi va ko‘paytmasi ham o‘zgarishi chegralangan funksiyalar bo‘ladi.
Isbot. Darhaqiqat, segmentni ixtiyoriy qismga bo‘lib,

tengsizliklarni yozishimiz mumkin; bu yerda: . Bundan

ya’ni funksiyaning o‘zgarishi chegralanganligi bevosita kelib chiqadi.
Ayirma uchun ham teorema shunga o‘xshash isbotlanadi.
Endi va funksiyalarning ko‘paytmasini olamiz:

bo‘lsin va funksiyalar o‘zgarishi chegralangan sababli chegralangandir. Shuning uchun va sonlar chekli. Bu holda:

Bundan

ya’ni funksiyaning o‘zgarishi chegaralangan.
3.2-teorema. Agar bo‘lsa, u holda:
(2)
Isbot. Agar nuqta bo‘lish nuqtalaridan biriga teng, masalan, bo‘lsa, u holda
(3)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. segmentni ixtiyoriy mayday qismlarga bo‘lish hisobiga bu tenglikning o‘ng tomonidagi yig’indini songa istagancha yaqin qilish mumkin. Shuning uchun
(4)
munosabatlarni yozishimiz mumkin.
Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy qismlarga bo‘lingan segmentni olib, qo‘shimcha bo‘lish nuqtasi kiritilsa, (1) tengsizlikningchap tomoni ortishigina mumkin. Shuning uchun bo‘lish nuqtasimi yoki bo‘lish nuqtasi emasmi, baribir, (3)ga muvofiq quyidagi tengsizlik o‘rinli:
.
Bu tengsizlik chap tomonining yuqori chegarasi olinsa,
(5)
tengsizlik kelib chiqadi.
(4) va (5) munosabatlardan (2) tenglik kelib chiqadi.
3.3-teorema. segmentda o‘zgarishi chegaralangan har qanday funksiya ikki monoton o‘suvchi funksiyaning ayirmasi sifatida yozilishi mumkin.
Isbot.

Funksiyalarni kiritib, ularning har birining monotn o‘suvchilig ko‘rsatilsa, teorema isbot etilgan bo‘ladi.
3.2-teoremaga muvofiq, agar bo‘lsa.

ya’ni -monotn o‘suvchi funksiya. funksiya ham monoton o‘suvchi. Darhaqiqat, bo‘lsin. U holda:

chunki

So‘nggi teoremaning mohiyati shundaki, buning yordami bilan o‘zgarishi chegaralangan funksiyalarning ba’zi xossalarini monoton o‘suvchi funksiyalarning xossasidan keltirib chiqarish mumkin va aksincha. Masalan, o‘zgarishi chegralangan funksiya biron nuqtada o‘ngdan uzluksiz bo‘lsa, u holda va funksiyalar ham shu nuqtada o‘ngdan uzluksiz bo‘ladi. Masalan, bu jumlani funksiya uchun isbot etamiz.
funksiyaning nuqtada o‘ngdan uzluksizligidan foydalanib, ixtiyoriy berilgan uchun shunday sonni topamizki, agar va bo‘lsa,
(6)
Tengsizlikni yozishmiz mumkin.
Endi segmentni ta qismga bo‘lamizki, ular uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘lsin:

nuqtani olishda tengsizlikka rioya qilishimiz kerak. U holda (6)ga muvofiq:

yoki 3.2-teoremaga asosan

bundan esa funksiyaning nutqtada o‘ngdan uzluksizligi bevosita kelib chiqadi.
3.4-natija. Agar o‘zgarishi chegralangan funksiya segmentda uzluksiz bo‘lsa, u holda va funksiyalar ham shu segmentda uzluksiz bo‘ladi.
3.5-natija. Biron funksiyaning segmentda o‘zgarishi chegaralangan bo‘lishi uchun uning ikki monoton o‘suvchi funksiyaning ayirmasi sifatida yozish mumkinligi zarur va kifoyadir.