Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti

II-BOB BO‘YICHA XULOSA
_Ushbu bobda “Tekisliklar maydoni” o‘rganilgan. Bu bobda Tekisliklar maydoni geometriyasi ta’rifi, integral sirtlar unga doir Lemmalar, Uch o‘lchamli fazoda tekisliklar maydoni va ularga doir misollar kiritilgan. Bundan tashqari bir nechata teoremalar va ulardan kelib chiqqan natija va isbotlari keltirilgan.


3-BOB
TO‘LIQ INTEGRALLANUVCHI TEKISLIKLAR MAYDONI GEOMERIYASI
3.1 §. O‘zarmas o‘lchamli tekisliklar maydoni
Teorema (Frobenius). to`la integrallanuvchi bo`lishi uchun uning involyutiv bo`lishi zarur va yetarli.
Isbot (Zaruriyligi). Agar to`la integrallanuvchi bo`lsa uning involutiv bo`lishini ko`rsatamiz. to`la integrallanuvchi bo`lsa unga mos qatlama mavjud. vektor maydonlar lokal koordinatalar sistemasida quyidagi ko`rinishga ega bo`lsin:


_(3.1.1)
U holda vektor maydonlarning aniqlanish sohasining umumiy qismi mavjud va unda ning koordinatalari vektor maydonlarning kombinatsiyasi bo`ladi.
Isbot (Yetarliligi). Trivial bo`lmagan hol uchun isbotlaymiz. Aytaylik, tekisliklar maydoni involutiv bo`lsin ning to`la integrallanuvchiligini ko`rsatamiz. Buning uchun esa ko`pxillikning har bir nuqtasida lokal karta mavjudligi, ya`ni lokal koordinatalarda vektor maydonlarning ga urinma bo`lishini isbotlash yetarli. Natijada, bunday xossalarga ega bo`lgan kartalar to`plami koo`lchami bo`lgan qatlamani hosil qiladi.
Natija quyidagi ikkita lemmadan kelib chiqadi.
Lemma 3.1.1 dagi tekisliklar maydoni involutiv bo`lsin. U holda barcha uchun nuqtalar uchun nuqtaning  ochiq atrofi mavjud va vektor maydonlar da silliq vektor maydon bo`ladi, ya`ni:

3. 
   lar da  ni hosil qiladi;
   
4. 
   da bo`ladi.
   

Lemma 3.1.2 lar ochiq qism to`plamda berilgan silliq vektor maydonlar bo`lsin. Faraz qilaylik, ular har bir nuqtada chiziqli erkli va ularning Li qavsi nolga teng , bo`lsin. U holda barcha uchun nuqtaning ochiq atrofi mavjud va lokal koordinatalarda da bo`ladi.