Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti

Misol 1.1.1 Berilgan vektor maydonning
integral chizig‘i topilsin.
Yechish: Ta’rifga ko‘ra, tenglamalar sistemasini yechsak, berilgan vektor maydonni integral chizig‘ini topgan bo‘lamiz. Bundan ni hosil qilamiz. Bu esa markazi koordinata boshida bo‘lgan konsentrik aylanalar oilasini beradi. (1.2.2-chizma).

1.2.2-chizma.

Misol 1.1.2 vektor maydonnig integral chizig‘ini toping.
Yechish: sistemani yechamiz: hosil bo‘ladi. Bu parallel ko‘chirishni parametrik tenglamasidir. (1.2.4-chizma).

1.2.3-chizma.
Misol 1.1.3 Quyidagi vektor maydon integral chizig‘i topilsin: .
Yechish: differensial tenglamalar sistemasini yechamiz. Bundan
yoki yechimga ega bo‘lamiz.
Misol 1.1.4 vektor maydonni integral chizig‘ini toping.
Yechish: differensial tenglamalar sistemani yechsak quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz. yoki hosil bo‘ladi.
Demak bu vektor maydonning integtal chiziqlari tekislikka parallel tekisliklardagi konsentrik aylanalar oilasidan iborat. o‘qi bu konsentrik aylanalar oilasining markazlaridan tashkil topgan.
1.2§. Vektor maydonlarning Li kommutatori
Ta’rif 1.2.1. Ixtiyoriy vektorlar va sonlar uchun quyidagi aksiomalar bajarilsa vektor fazoda aniqlangan binar amal Li algebrasi deyiladi:

1. 
   kososimmetriklik;
   
2. 
   chiziqlilik; (1.2.1)
   
3. 
   Yakobi ayniyati.
   

Biz bilgan Yevklid fazosidagi vektor ko‘paytma Li algebrasiga misol bo‘la oladi.
Endi sohada aniqlangan ixtiyoriy ikkita vektor maydon va nuqtaga quyidagi
1.2.2)
qoida bilan aniqlanuvchi funksionalni mos qo‘yamiz, bu erda silliq funksiya va lar funksiyadan yo‘nalish bo‘yicha hosilalar.
Bu funksional (1.1.1) tenglikni qanoatlantirishini tekshirib ko‘rish qiyin emas, shuning uchun bu funksional ham vektor bo‘ladi.
Faraz qilaylik vektor maydonlarning bazisdagi yoyilmalari bo‘lsin.
U holda


(1.2.3)
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikdan vektorning lokal koordinatalardagi va bazisdagi koordinatalarini yozamiz:


(1.2.4)

Shunday qilib ko‘pxillikdagi har bir silliq vektor maydonlar juftligiga yangi vektor maydon mos keladi va u vektor maydonlarning Li kommutatori (qavsi) deyiladi.